Estoy tratando de entender la pregunta, y en su mayor parte la respuesta de David Joyce llega al corazón de la misma. Sin embargo, analicemos lo que está preguntando.
Jens Oliver Gutsfeld te preguntó si te referías a sistemas fundamentales, porque hay un número infinito de sistemas axiomáticos. Cuando se vuelven interesantes y no son inconsistentes (y a veces cuando lo son), construimos una teoría detrás de esto.
Entonces, mencionas ZF y ZFC, lo que me indica que pretendías hablar sobre sistemas fundamentales. Hablemos de lo que eso significa.
- ¿Qué se siente ser un estudiante en Cambridge Math Tripos Parte III?
- Cómo identificar hipótesis y conclusiones en declaraciones condicionales
- Cómo derivar la fórmula determinante de una matriz 3 × 3 sin usar la definición algebraica
- ¿Cómo podemos deshacernos de estos defectos en la teoría de conjuntos?
- ¿Cómo se llama la suma, resta, multiplicación y división?
ZFC es muy popular, porque nos permite construir algo llamado conjuntos, para lo cual esos conjuntos se pueden usar para definir todo, desde la lógica a los enteros, a los reales, a la topología, a (inserte aquí sus matemáticas favoritas). Es casi universal, ya que puedes hablar sobre cualquier parte de las matemáticas con alguna combinación de axiomas fundamentales. Sin embargo, como notaron, no es el único conjunto de axiomas en la ciudad.
Más recientemente, hemos visto New Foundations (NF), que también funciona con la teoría de conjuntos. Existen alternativas al uso de conjuntos como base, como la teoría de conjuntos alternativos. Recientemente, también se ha dedicado mucho trabajo al uso de la teoría de tipos de homotopía como base, que funciona con tipos en lugar de conjuntos (y ha visto muchas pruebas codificadas en Coq y Agda).
De hecho, gran parte de su pregunta se puede responder aquí.
