Contenido
- 1. Idea
- 2. Descripción del proyecto.
- 3. Semántica NamingStack
- 4. Referencias
1. Idea
- ¿Cómo resuelvo (1+ | xy-1 |) <(1+ | y-1 |) (1+ | x-1 |)?
- ¿Cuántas veces es 1,000 más grande que 1?
- ¿Tienes un ejemplo de crítica de artículo de matemáticas que puedas compartir?
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La nueva idea tomada como punto de partida en la teoría de conjuntos algebraicos (AST) es que los modelos de teoría de conjuntos son, de hecho, álgebras para una teoría algebraica adecuadamente presentada, y que muchas condiciones familiares de teoría de conjuntos (como la fundamentación correcta) están relacionadas a los familiares algebraicos (como la libertad). (Awodey)
2. Descripción del proyecto.
También llamada a veces teoría de conjuntos categórica (que significa teoría de categorías), la teoría de conjuntos algebraicos comenzó a desarrollarse en 1988 por André Joyal e Ieke Moerdijk y fue presentada por primera vez en detalle como un libro en 1995 por ellos. AST es un marco robusto basado en la teoría de categorías para estudiar y organizar teorías de conjuntos y construir modelos de teorías de conjuntos. El objetivo de AST es proporcionar una semántica categórica uniforme o una descripción de las teorías de conjuntos de diferentes tipos (clásico o constructivo; limitado, predicativo o impredecible; bien fundado o mal fundado, …), las diversas construcciones de la jerarquía acumulativa de conjuntos puros , modelos forzados, modelos de gavilla y modelos de realización.
En lugar de enfocarse en categorías de conjuntos, AST se enfoca en categorías de clases. ¿La herramienta básica de AST es la noción de una categoría con estructura de clase? (una categoría de clases equipadas con una clase de mapas pequeños (la intuición es que sus fibras son pequeñas en algún sentido), clases de poder y un objeto universal) que proporciona un marco axiomático en el que se pueden construir modelos de teoría de conjuntos. La noción de una categoría de clase permite tanto la definición de álgebras de ZF? y estructuras relacionadas que expresan la idea de que la jerarquía de conjuntos es una estructura algebraica por un lado y la interpretación de la lógica de primer orden de la teoría de conjuntos elemental por el otro. La subcategoría de conjuntos en una categoría de clase es un topos elemental y cada topos elemental ocurre como el topos de conjuntos en alguna categoría de clase.
La categoría de clase en sí misma siempre se integra en la realización ideal de un topos. La interpretación de la lógica es que en cada categoría de clase el universo es un modelo de teoría de conjuntos intuitiva básica BIST [math] \ mathbf {BIST} [/ math] que está lógicamente completo? con respecto a los modelos de categoría de clase. Por lo tanto, las categorías de clase generalizan tanto la teoría de topos como la teoría de conjuntos intuicionistas. AST funda y formaliza la teoría de conjuntos sobre el álgebra ZF con operaciones sindicales y sucesoras (singleton) en lugar de en la relación de membresía. Los axiomas de ZF no son más que una descripción del álgebra de ZF libre al igual que los axiomas de Peano son una descripción del monoide libre en un generador. En esta perspectiva, los modelos de teoría de conjuntos son álgebras para una teoría algebraica adecuadamente presentada. Usando una noción auxiliar de mapa pequeño, es posible extender los axiomas de un topos y proporcionar una teoría general para construir modelos de teoría de conjuntos a partir de topos de manera uniforme.
3. Nombramiento
Hay dos razones para referirse a esta investigación como “teoría de conjuntos algebraicos”: la primera razón es que los modelos de teoría de conjuntos que son producidos por estos métodos son álgebras para una “teoría” presentada de manera abstracta, en un sentido técnico preciso conocido teóricos de categoría como una mónada. La noción de un álgebra para una mónada subsume y generaliza la de un modelo para una teoría algebraica convencional, como grupos, anillos, módulos, etc. De hecho, el primer trabajo significativo en este estilo sobre las aplicaciones de la teoría de categorías al estudio de La teoría de conjuntos era la monografía (Joyal-Moerdijk 1995) La teoría de conjuntos algebraica .
La segunda razón es que creemos que la “lógica algebraica” de locución debería referirse adecuadamente a la lógica categórica en lugar de solo la lógica de Boole y sus defensores modernos, ya que la lógica categórica subsume tales métodos teóricos de celosía y no al revés. De ahí el término “teoría de conjuntos algebraicos” en lugar de “teoría de conjuntos categórica”. Esto está en consonancia con el uso de “algebraico” para significar, esencialmente, “functorial” en la topología algebraica moderna, la geometría algebraica, etc. (Awodey, ¿por qué la “teoría de conjuntos algebraicos”?)
Semántica de pila
La semántica de pila proporciona una forma estructural y algo más uniforme de tratar las “clases” en la teoría de topos.
4. Referencias
Presentaciones y otros indicadores están en
- Sitio web de teoría de conjuntos algebraicos
Dos introducciones son:
- Steve Awodey, Un esquema de la teoría de conjuntos algebraicos (pdf)
- Benno van den Berg, Ieke Moerdijk, Un enfoque unificado de la teoría de conjuntos algebraicos arXiv
Un libro de texto estándar es
André Joyal, Ieke Moerdijk, teoría de conjuntos algebraicos , Cambridge University Press (1995)
Espero que esto ayude.
Gracias por leer……
