La mayoría de los matemáticos invocan el axioma de elección, y sus consecuencias, con bastante libertad. Entre otras cosas, se invoca con frecuencia para demostrar que:
– cada campo tiene un cierre algebraico
– cada anillo tiene un ideal máximo
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– cada extensión de campo tiene una base de trascendencia
– cada subgrupo de un grupo libre es libre
– cada espacio vectorial tiene una base
– cada función lineal limitada en un subespacio se puede extender a todo el espacio (Hahn-Banach)
– el campo de los números complejos tiene infinidad de automorfismos
– el producto de espacios compactos es compacto
… y muchos otros resultados similares.
Ahora, concedido, en muchos de estos casos uno no necesita todo el poder del Axioma de Elección. Existen versiones débiles, como el axioma de la elección contable o el teorema del ideal primo booleano, que son suficientes para probar las afirmaciones anteriores, ya sea en todos los casos o en casos de interés real. La mayoría de los matemáticos no necesitan lidiar con espacios de vectores o anillos de cardinalidad arbitraria, y cuando la cardinalidad es pequeña, puede sobrevivir con una de las formas más débiles.
Esto produce una cierta distinción cultural entre “álgebra simple” o “topología simple” y “álgebra teórica de conjuntos” o “topología teórica de conjuntos”, donde el primero trata con cosas que son contables o contables en el corazón (p. Ej. espacios topológicos o métricos separables) y este último se ocupa del extraño mundo de las cosas de alta cardinalidad.
Sin embargo, las líneas se vuelven cada vez más borrosas cuando, por ejemplo, los teóricos de números usan libremente los resultados de, por ejemplo, la teoría de categorías que se establecen y prueban con supuestos bastante liberales de teoría de conjuntos. Algunas personas se molestan en tratar de desentrañar los requisitos mínimos de teoría de conjuntos precisos, pero a muchas otras personas no les importa. Creo que el sentimiento general es que usar el lema de Zorn o la existencia de bases está bien sin tener que preocuparse por las cardinalidades involucradas.
El estudio de lo que es exactamente equivalente a lo que hay debajo, por ejemplo, ZF, es un asunto sutil que muchas personas consideran un campo de estudio fascinante por derecho propio.
