Si sin y y cos y son raíces de la ecuación ax ^ 2 + bx + c = 0, ¿muestra que a ^ 2-b ^ 2 + 2ac = 0?

Las otras soluciones son más elegantes, pero así es como lo resolví usando solo mi memoria de la fórmula cuadrática y la identidad pitagórica:

La cuadrática tiene dos soluciones: [matemáticas] x_1, x_2 = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]. (Fórmula cuadrática)

Dado que [math] x_1 [/ math] y [math] x_2 [/ math] son ​​el seno y el coseno de un ángulo, satisfacen [math] x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 = 1 [/ math]. (identidad pitagórica)

Al conectar la primera ecuación a la segunda se obtiene:
[matemáticas] (- b + \ sqrt {b ^ 2-4ac}) ^ 2 / (2a) ^ 2 + (-b – \ sqrt {b ^ 2-4ac}) ^ 2 / (2a) ^ 2 = 1 [/matemáticas].
Simplificar un poco da [matemáticas] 2b ^ 2 + 0 + 2 (b ^ 2-4ac) = 4a ^ 2 [/ matemáticas].
Simplificar un poco más da el resultado deseado.

suma de raíces = siny + acogedor = -b / a
producto de raíces = sinicosis = c / a
a ^ 2 – b ^ 2 + 2ac = a ^ 2 (1- (b / a) ^ 2 + 2c / a) = a ^ 2 (1 – (siny + acogedor) ^ 2 + 2sinycosy)
= a ^ 2 (1 – 1 – 2sinycosy + 2sinycosy) = 0
(nota: sin ^ 2 (y) + cos ^ 2 (y) = 1)

Como sin y y cos y son las raíces de la ecuación ax ^ 2 + bx + c = 0, por lo tanto, sin y + cos y = -b / a y sin y * cos y = c / a.

-b / a = sen y + cos y, al cuadrar ambos lados,

o, b ^ 2 / a ^ 2 = sin ^ 2 y + cos ^ 2 y + 2sin y * cos y

o, b ^ 2 / a ^ 2 = 1 + 2 * c / a (como sen y * cos y = c / a)

o, b ^ 2 = a ^ 2 + 2 * c * a ^ 2 / a

o, a ^ 2 – b ^ 2 + 2ac = 0 (probado)