Los operadores entre espacios de funciones son solo otro tipo de mapeo.
Si sus espacios son espacios vectoriales topológicos *, entonces tiene una noción de ‘dirección’ además de ‘posición’. Si tiene la noción de evaluar su mapa en un punto, junto con la noción de evaluarlo en algún lugar cercano en una dirección, puede tener una derivada direccional.
Eso es precisamente lo que es la derivada de Gâteaux.
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[matemáticas] \ displaystyle Df (u, \ psi) = \ lim _ {\ tau \ rightarrow} \ frac {F (u + \ tau \ psi) – F (u)} {\ tau} = \ frac {d} { d \ tau} F (u + \ tau \ psi) | _ {\ tau = 0} [/ math]
Hay otra derivada que es aún más estricta si tiene una norma definida. La derivada de Fréchet es un operador lineal muy similar al gradiente.
Un operador es Fréchet diferenciable si existe un operador [matemático] A: V \ rightarrow W [/ matemático] tal que
[matemáticas] \ displaystyle \ lim _ {\ | \ psi \ | \ rightarrow 0} \ frac {\ | F (u + \ psi) – F (u) – A \ psi \ | _W} {\ | \ psi \ | _V} = 0 [/ math]
La diferenciabilidad de Fréchet es más fuerte, ya que implica la diferenciabilidad de Gâteaux.
[matemáticas] A = Df (u) [/ matemáticas]
Al igual que en los espacios dimensionales finitos, es posible que tenga una función donde existan todas las derivadas direccionales, pero no se mezclan bien y, por lo tanto, no tienen una derivada total.
Tenga en cuenta que estos son los tipos de derivados que se utilizan en el cálculo de variaciones. De hecho, el cálculo de variaciones puede verse como un caso especial de análisis funcional.
* En un espacio completo como un espacio de Fréchet, Banach o Hilbert, hay menos complicaciones. Cuanta más estructura tenga, más teoremas del cálculo aún se aplican. Por ejemplo, una vez que tiene un espacio de Banach, tiene los teoremas de función inversa e implícita.
