La respuesta básica a cómo uno puede encontrar las manipulaciones, sustituciones o desigualdades correctas al resolver problemas matemáticos es que todo es cuestión de experiencia . Y solo hay una forma de obtener esta experiencia: practicar, practicar y aún más practicar. Haga muchos ejercicios matemáticos y resuelva muchos problemas, y eventualmente, con suerte, desarrollará una intuición sobre qué tipos de enfoques es probable que funcionen y, lo que es más importante, cuáles no.
También ayuda si piensas en las matemáticas visualmente; desarrolle el hábito de convertir ecuaciones en imágenes (curvas, superficies, volúmenes, redes, diagramas de Venn o lo que sea) para que pueda reclutar el poder de procesamiento visual de su cerebro para ayudarlo a comprender realmente las matemáticas (y estas imágenes a menudo pueden guiarlo a una solución mucho más rápida que solo las manipulaciones simbólicas). Sus fotos no necesitan ser súper precisas, sino solo bocetos para darle una idea de las matemáticas. Entonces, cuando vea una ecuación, siempre pregúntese ‘¿Cómo es esta ecuación? ¿Qué está describiendo realmente? (Y si no se siente seguro dibujando sus propias imágenes a mano, hay muchas herramientas de software que puede usar para ayudarlo a visualizar objetos matemáticos, como Mathematica, MatLab o Geogebra [1] (el último tiene la ventaja de ser software libre de código abierto).)
De hecho, es solo cuando haces esto que realmente estás haciendo matemáticas en un sentido real. Cuando simplemente está manipulando símbolos matemáticos, especialmente cuando lo hace aplicando sin pensar reglas estándar que probablemente haya aprendido de memoria sin comprender realmente, realmente no está haciendo matemáticas, porque esos símbolos no son las matemáticas mismas ; son solo su notación : una abreviatura abstracta para capturar, comunicar y manipular ideas matemáticas. El mero hecho de que pueda haber muchas representaciones de notación diferentes de los mismos objetos matemáticos indica que no es la notación la que tiene mayor importancia, sino que son los objetos matemáticos subyacentes que se describen por las diferentes notaciones lo que realmente importa. Como dice el viejo adagio, “el mapa no es el territorio”, y usted debe centrarse en el territorio, no en el mapa.
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Hay analogías entre notación matemática y notación musical (es decir, manuscrito musical), o, de manera equivalente, entre notación matemática y lenguaje escrito, que son muy instructivas aquí.
Una hoja de manuscrito musical no es la música en sí, sino simplemente la notación en la que se captura y se comunica. Es solo cuando un músico interpreta esa notación y la traduce a los sonidos y ritmos correspondientes, ya sea con instrumentos musicales reales o simplemente en sus propias cabezas, que la música misma realmente existe. Y, por supuesto, hay muchos músicos “aficionados” que en realidad no pueden leer manuscritos musicales, pero que, sin embargo, pueden tocar instrumentos musicales y tocar música de manera bastante competente. Entonces, ¿cuál es la expresión más fundamental de la música: la notación musical o la música en sí misma? [2]
Del mismo modo, a alguien se le puede mostrar la forma escrita de un idioma extranjero que no conoce y tener explicadas las reglas para pronunciar las palabras escritas en ese idioma. Con suficiente práctica, podrían tomar un periódico escrito en ese idioma y leerlo en voz alta con suficiente precisión fonética para que un hablante nativo pueda entenderlo, e incluso creer que la persona es un hablante nativo. Pero es posible que todavía no entiendan el significado real de lo que estaban leyendo, por lo que no podríamos decir que realmente conocen el idioma, porque solo saben leer y pronunciar su forma escrita. Solo pueden afirmar que entienden el idioma cuando pueden traducir su forma escrita o, de manera equivalente, sus sonidos, a significado . Entonces, la esencia de un lenguaje no está en su forma escrita o en sus sonidos, sino en los significados que transmiten esas cosas. Y, al igual que con la música, es posible que alguien desarrolle suficiente fluidez verbal en un idioma para poder comunicarse de manera efectiva, pero sin haber aprendido a leerlo o escribirlo. Además, nuevamente, como con la música, las personas usaban el lenguaje mucho antes de que se desarrollara una notación simbólica para capturarlo en forma abstracta. Entonces, la notación simbólica no puede ser fundamental para el lenguaje. Más bien, son los significados que transmiten esos símbolos (y su articulación verbal) los que son verdaderamente fundamentales. Y así es con las matemáticas.
Y, para reiterar un punto anterior, existe otra analogía lingüística que también es bastante reveladora sobre la relación entre la notación matemática y las ideas matemáticas. Todos los lenguajes humanos están formados por los mismos componentes funcionales básicos: sustantivos, verbos, adjetivos, artículos, pronombres, etc., y todos están diseñados con la misma función básica en mente, es decir, para permitirnos comunicar y procesar información. y pensamientos sobre los objetos y procesos de nuestras realidades físicas y cognitivas. Y todos cumplen esta función (aunque quizás con distintos grados de expresividad y precisión, dependiendo del idioma en particular). Pero las frases ” 猫 坐在 垫子 上 ” (chino), ” बिल्ली चटाई पर बैठ गया ” (hindi) y ” جلس القط على حصيرة ” (árabe) desempeñan la misma función que la frase ” el gato se sentó en el tapete ” (inglés), es decir, cuando las personas que entienden esos idiomas leen o escuchan, todos transmiten más o menos la misma información y evocan más o menos la misma imagen en sus respectivos mentes: la de un tipo particular de pequeño mamífero domesticado sentado en algún tipo de revestimiento de piso. No importa que las formas o articulaciones escritas de todas estas frases equivalentes sean bastante diferentes; Todos describen los mismos conceptos básicos. Y como he dicho, lo mismo ocurre con las matemáticas. Lo que importa son los conceptos subyacentes, y no las formas específicas en las que se expresan.
Entonces, si tiene dificultades para tratar de encontrar una manipulación algebraica, una sustitución o una desigualdad que necesita para resolver un problema en particular, deje de enfocarse en la notación y piense en lo que realmente está describiendo. Intenta encontrar una imagen mental, o dibuja una imagen, que te ayude a visualizar Las entidades matemáticas con las que está tratando. Entonces podría ‘ver’ la solución sin tener que recurrir a manipulaciones simbólicas. Pero si aún necesita usar algún tipo de notación para capturar y manipular las relaciones que percibe con estas imágenes, intente encontrar una notación que enfatice solo las características que le interesan y que no esté demasiado abarrotada de detalles irrelevantes (y si no conozca ninguna notación existente, no dude en inventar la suya propia ). Si todavía no puede ver una solución, entonces, volviendo a la analogía del lenguaje, intente usar un lenguaje matemático completamente diferente que exprese los mismos conceptos, pero desde un ángulo diferente. Por ejemplo, si está trabajando en un problema de geometría analítica, intente usar geometría proyectiva o álgebra lineal. Si no puede encontrar una solución a un problema en el cálculo de variables reales, intente pasar al cálculo de variables complejas, que bien pueden proporcionar un enfoque más general, potente y elegante. Las matemáticas son ricas en interrelaciones profundas, y a menudo sorprendentes, entre sus diferentes ramas y sus idiomas asociados, y un problema que podría ser intratable cuando se expresa en uno de estos idiomas podría ser trivialmente fácil de resolver cuando se traduce a un problema equivalente en otra rama. de las matematicas. Adoptar un enfoque tan ‘interdisciplinario’ para la resolución de problemas, y poder cambiar de manera fluida entre diferentes perspectivas y lenguajes matemáticos, es una de las formas más efectivas de desarrollar los poderes matemáticos.
Como nota final, debo agregar que la pregunta parece suponer que hay una respuesta simple y fácil de comunicar sobre cómo ‘encontrar las manipulaciones o sustituciones algebraicas correctas’ cuando se intenta resolver varios tipos de problemas matemáticos. Bueno, como indiqué al principio, estas cosas no pueden enseñarse realmente de la misma manera que uno podría enseñarle a alguien cómo resolver una ecuación cuadrática simplemente conectando los coeficientes a la famosa fórmula. El alumno solo puede aprender qué manipulaciones y sustituciones pueden funcionar, y cuáles no, por experiencia. Y esta experiencia solo puede provenir de la resolución de muchos problemas similares y, lo que es más importante, al tratar de resolver problemas que requieren que prueben todos los enfoques y técnicas posibles que conocen. Incluso si nunca logran resolver el problema, habrán adquirido una valiosa experiencia al jugar con las diferentes técnicas y ver cómo funcionan y cuáles son sus fortalezas y debilidades relativas. La enseñanza convencional de matemáticas en la escuela secundaria no deja mucho espacio para este tipo de juego matemático creativo y exploratorio, y esa es una de las principales debilidades del enfoque pedagógico tradicional de las matemáticas. La enseñanza estandarizada de matemáticas consiste en enseñar formas estandarizadas de resolver problemas estandarizados, por lo que su capacidad para hacerlo se puede medir con pruebas estandarizadas. Por lo tanto, tiende a omitir formas no estándar de resolver problemas no estándar, porque estos no pueden enseñarse fácilmente dentro del marco habitual. Es decir, si no se puede enseñar, es poco probable que lo aprenda, a menos que salga del marco de enseñanza estandarizado y simplemente comience a jugar con problemas matemáticos que le interesan, e incluso piense en sus propios problemas matemáticos, solo para los suyos. diversión , sin ninguna preocupación por pasar las pruebas y los exámenes. El matemático y profesor de matemáticas Paul Lockhart escribió un maravilloso (y muy condenatorio) libro de 25 folletos sobre los problemas con la enseñanza tradicional de las matemáticas, ‘Lamento de un matemático’, en el que reitera muchos de los puntos que ya he cubierto aquí. . Le recomiendo que lo lea. [3]
[1] geogebra.com
[2] Dicho esto, la notación matemática es mucho más importante para las matemáticas que la notación musical para la música. La música se puede comunicar de una persona a otra simplemente interpretándola . Pero las ideas de las matemáticas pueden ser mucho más abstractas y complejas que la sinfonía más elaborada, y no se pueden comunicar con absoluta precisión sin el uso de una notación igualmente precisa, sin importar cuán buenas puedan ser las representaciones puramente visuales de las matemáticas. En matemáticas, rara vez es suficiente simplemente para “tararear la melodía”, a menos que uno solo esté interesado en respuestas aproximadas a problemas matemáticos; Para transmitir todos los detalles, uno debe ser absolutamente perfecto.
[3] Página sobre Worrydream
