¡ES UNA HISTORIA DE MUCHO!
El número e primero llega a las matemáticas de una manera muy menor. Esto fue en 1618 cuando, en un apéndice del trabajo de Napier sobre logaritmos, apareció una tabla con los logaritmos naturales de varios números. Sin embargo, no se reconoció que estos eran logaritmos a la base e, ya que la base a la que se calculan los logaritmos no surgió en la forma en que se pensaban los logaritmos en este momento.
Esta tabla en el apéndice, aunque no lleva el nombre del autor, fue casi seguramente escrita por Oughtred . Unos años más tarde, en 1624, nuevamente casi llegamos a la literatura matemática, pero no del todo. En ese año, Briggs dio una aproximación numérica al logaritmo de base 10 de e, pero no mencionó a e en su trabajo.
La siguiente posible aparición de e es nuevamente dudosa. En 1647 Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular.
Ciertamente en 1661 Huygens entendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo. Examinó explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular yx = 1 y el logaritmo. Por supuesto, el número e es tal que el área debajo de la hipérbola rectangular de 1 ae es igual a 1. Esta es la propiedad que hace que e sea la base de los logaritmos naturales,
- Dado un conjunto A = {a + b * raíz 2 | ayb son números racionales}, ¿es 1/7 + 2/7 * raíz 2 un elemento de A?
- Para un conjunto [math] X [/ math] con elementos [math] n [/ math] hay relaciones [math] 2 ^ {n ^ 2} [/ math]. ¿Cuántos de ellos son reflexivos? Irreflexivo? ¿Simétrico? Antisimétrico? ¿Transitivo? ¿Equivalencia?
- ¿Qué es la matemática?
- Cómo mejorar mi aptitud matemática
- ¿Cuál es la fórmula de suma de [math] \ zeta (3) [/ math]?
Huygens hizo otro avance en 1661. Definió una curva que llama “logarítmica” pero en nuestra terminología nos referiríamos a ella como una curva exponencial, que tiene la forma y = ka ^ x . Una vez más, de esto viene el logaritmo a la base 10 de e , que Huygens calculó en 17 decimales. Sin embargo, aparece como el cálculo de una constante en su trabajo y no se reconoce como
el logaritmo de un número (de nuevo, es una llamada cercana pero e permanece sin ser reconocido).
En 1668 Nicolaus Mercator publicó ‘ Logarithmotechnia’ que contiene la serie de expansión de log (1+ x ). En este trabajo, Mercator utiliza el término “logaritmo natural” por primera vez para que los logaritmos basen e . El número e mismo nuevamente no aparece como tal y nuevamente permanece esquivo a la vuelta de la esquina.
Quizás sorprendentemente, dado que este trabajo sobre logaritmos había estado tan cerca de reconocer el número e , cuando e se “descubre” por primera vez, no es a través de la noción de logaritmo sino a través de un estudio de interés compuesto. En 1683, Jacob Bernoulli examinó el problema del interés compuesto y, al examinar el interés compuesto continuo, trató de encontrar el límite de (1 + 1 / n ) n, ya que n tiende al infinito. Utilizó el teorema binomial para mostrar que el límite tenía que estar entre 2 y 3, por lo que podríamos considerar que esta es la primera aproximación encontrada para e . Además, si aceptamos esto como una definición de e , es la primera vez que se define un número mediante un proceso limitante. Ciertamente no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y el de los logaritmos.
Puede haber sido Jacob Bernoulli quien primero entendió la forma en que la función de registro es la inversa de la función exponencial. Por otro lado, la primera persona en hacer la conexión entre logaritmos y exponentes bien pudo haber sido James Gregory . En 1684 ciertamente reconoció la conexión entre logaritmos y exponentes, pero puede que no haya sido el primero.
Hasta donde sabemos, la primera vez que el número e aparece por derecho propio es en 1690. En ese año, Leibniz escribió una carta a Huygens y en esto usó la notación b para lo que ahora llamamos e . Por fin, el número e tenía un nombre (incluso si no era el actual) y fue reconocido.
Los problemas anteriores surgieron del hecho de que el registro no se consideraba como una función. Sería justo decir que Johann Bernoulli comenzó el estudio del cálculo de la función exponencial en 1697 cuando publicó ‘ Principia calculi exponencialium seu percurrentium’. El trabajo implica el cálculo de varias series exponenciales y muchos resultados se logran con la integración término por término.
Gran parte de nuestra notación matemática se debe a Euler que no será sorprendente encontrar que la notación e para este número se debe a él.
Sin embargo, la afirmación que a veces se ha hecho de que Euler usó la letra e porque era la primera letra de su nombre es ridícula. Probablemente ni siquiera sea el caso que la e provenga de “exponencial”, pero puede ser la siguiente vocal después de “a” y Euler ya estaba usando la notación “a” en su trabajo. Cualquiera sea la razón, la notación e hizo su primera aparición en una carta que Euler escribió a Goldbac h en 1731.
Hizo varios descubrimientos con respecto a e en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando Euler publicó ‘ Introductio in Analysin infinitorum’ que dio un tratamiento completo de las ideas que rodean a e . El demostró que
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …
y que e es el límite de (1 + 1 / n ) ^ n ya que n tiende al infinito. Euler dio una aproximación de e a 18 decimales,
e = 2.718281828459045235
sin decir de dónde vino esto. Es probable que Euler calcule el valor él mismo, pero si es así no hay indicios de cómo se hizo. De hecho, ¡toma alrededor de 20 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … dará la precisión que Euler dio.
Fuentes:
1. E Maor, e: la historia de un número (Princeton, 1994).
2. JL Coolidge, El número e, Amer. Matemáticas. Mensual 57 (1950), 591-602.
