Veamos qué sucedería si intentaras establecer [math] u = \ ln (-1) [/ math]. Entonces tendríamos [matemáticas] e ^ {2u} = 1 [/ matemáticas], ¿verdad? ¿Eso implica que [matemáticas] u = 0 [/ matemáticas]? Algo es raro aquí …
¿Qué sería [matemática] e ^ {3u} [/ matemática]? ¿Qué sería [matemáticas] e ^ {4u} [/ matemáticas]? Siguiendo esa línea de pensamiento, creo que verá que cada número real distinto de cero tiene infinitos logaritmos complejos. (De hecho, cada número complejo distinto de cero lo hace, pero se supone que pretendemos que todavía no estamos allí). Podría definir que u sea un valor particular de [math] \ ln (-1) [/ math], pero eso se siente como un torpe punto de entrada al estudio de números complejos.
E incluso si define [math] u [/ math] de la manera más natural posible, terminaría obteniendo [math] \ sqrt {-1} = \ pm \ frac {u} {\ pi} [/ math ], o en otras palabras, [matemáticas] u = \ pm \ pi i [/ matemáticas]. (Ver la fórmula de Euler.) Entonces parece que podríamos seguir con [math] i [/ math], porque así es como se desarrollaron históricamente los números complejos. La respuesta de Justin Rising básicamente da la razón de esto; Más detalles están disponibles aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Com…. En particular, vale la pena señalar que este no fue un caso de “imaginemos este escenario extraño que parece desafiar nuestras reglas matemáticas conocidas y ver cómo se desarrolla”. Mucha gente se resistía a la idea de usar números complejos, pero luego notaron que el método de Tartaglia para resolver un tipo particular de ecuación cúbica funcionaba incluso cuando se requería sacar la raíz cuadrada de un número negativo ; el método aún daría soluciones correctas y de valor real. Esto sugirió que había algo “real” en los números complejos.
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Quizás pensar en términos de [matemáticas] u [/ matemáticas] podría ser fructífero de alguna manera inesperada, pero no lo sé. Pruébalo, supongo.