¿Por qué los números complejos se basan en raíces cuadradas negativas y no en logaritmos negativos?

Veamos qué sucedería si intentaras establecer [math] u = \ ln (-1) [/ math]. Entonces tendríamos [matemáticas] e ^ {2u} = 1 [/ matemáticas], ¿verdad? ¿Eso implica que [matemáticas] u = 0 [/ matemáticas]? Algo es raro aquí …

¿Qué sería [matemática] e ^ {3u} [/ matemática]? ¿Qué sería [matemáticas] e ^ {4u} [/ matemáticas]? Siguiendo esa línea de pensamiento, creo que verá que cada número real distinto de cero tiene infinitos logaritmos complejos. (De hecho, cada número complejo distinto de cero lo hace, pero se supone que pretendemos que todavía no estamos allí). Podría definir que u sea un valor particular de [math] \ ln (-1) [/ math], pero eso se siente como un torpe punto de entrada al estudio de números complejos.

E incluso si define [math] u [/ math] de la manera más natural posible, terminaría obteniendo [math] \ sqrt {-1} = \ pm \ frac {u} {\ pi} [/ math ], o en otras palabras, [matemáticas] u = \ pm \ pi i [/ matemáticas]. (Ver la fórmula de Euler.) Entonces parece que podríamos seguir con [math] i [/ math], porque así es como se desarrollaron históricamente los números complejos. La respuesta de Justin Rising básicamente da la razón de esto; Más detalles están disponibles aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Com…. En particular, vale la pena señalar que este no fue un caso de “imaginemos este escenario extraño que parece desafiar nuestras reglas matemáticas conocidas y ver cómo se desarrolla”. Mucha gente se resistía a la idea de usar números complejos, pero luego notaron que el método de Tartaglia para resolver un tipo particular de ecuación cúbica funcionaba incluso cuando se requería sacar la raíz cuadrada de un número negativo ; el método aún daría soluciones correctas y de valor real. Esto sugirió que había algo “real” en los números complejos.

Quizás pensar en términos de [matemáticas] u [/ matemáticas] podría ser fructífero de alguna manera inesperada, pero no lo sé. Pruébalo, supongo.

Puede haber alguna respuesta basada en el álgebra: agregar [math] \ sqrt {-1} [/ math] a un campo es una instancia de extensión de campo, una operación de buen comportamiento. La división por cero no tiene buenas propiedades algebraicas porque la identidad x × 0 = 0 o la definición de división deben romperse: piense en “(1/0) × 0 =?”. El exponente de π i es -1 en números complejos, por lo que no hay un punto particular para postular un logaritmo de -1 aparte de los números imaginarios.

La raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] aparece en la solución de ecuaciones cúbicas con coeficientes reales. De ahí proviene el estudio de los números complejos.

Los logaritmos de números negativos son mucho más complicados, y los sistemas que tienen un símbolo para [math] 1/0 [/ math] tienden a no ser muy agradables.

Necesita series de potencia para definir exp / log, y necesita polinomios antes de obtener series de potencia. x² + 1 = 0 es lo más simple posible. Las ecuaciones lineales tienen soluciones triviales. Cualquier ecuación cuadrática es equivalente a x² – 1 = 0 o x² = 0 o x² + 1 = 0 por cambio lineal de variable, y los dos primeros tienen soluciones 1, -1, 0. Entonces la solución de x² + 1 = 0 es El único elemento básico que necesita agregar para obtener el espacio de soluciones de ecuaciones cuadráticas. Según el teorema fundamental del álgebra, esto ahora ya incluye soluciones de todas las ecuaciones polinómicas de cualquier orden.

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