OK, el orden de una permutación [matemática] \ pi [/ matemática] es 6, ya que [matemática] \ pi ^ 6 = (12) (34) (56) ^ 2 = id [/ matemática] y [matemática] \ pi ^ 3 \ neq id [/ math].
Hay dos tipos de permutaciones de orden 6.
1) Un producto de dos ciclos de longitud 2 y 3, por ejemplo (12) (345) (6).
Esto no es lo que está buscando, ya que tal permutación fija un elemento, también lo hacen sus poderes. Por lo tanto, debe ser incorrecto.
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2) Su permutación es un ciclo de longitud 6. Por ejemplo (123456).
Uno que estamos buscando debe estar entre ellos.
Ahora desea obtener ese 1 -> 2 después de tres multiplicaciones / composiciones consecuentes.
Suponga que para sus [math] \ pi [/ math] tiene, por ejemplo, 1-> 3, 3-> 5, 5-> 2. Entonces [math] \ pi ^ 3 [/ math] envía 1 a 2. Ahora queremos que [math] \ pi ^ 3 [/ math] envíe 3 en 4.
Entonces tenemos 13524 .. (la distancia entre 3 y 4 es dos posiciones). Ahora solo quedan 6, por lo que no tiene otra opción: [math] \ pi = (135246) [/ math]. Y como puede ver, la distancia entre 5 y 6 es exactamente dos posiciones si se ajusta. Eso es exactamente lo que necesitamos. Uno se encuentra.
Encontremos una segunda. Supongamos que 1-> 5, 5-> 4, 4-> 2. (Se ejecuta en todos los dos ciclos). Entonces [math] \ pi = (1542… [/ math]. Dado que [math] \ pi ^ 3 [/ math] envía 5 a 6 [math] \ pi = (15426… [/ math]. Y solo hay uno dígito a la izquierda, por lo tanto, [matemática] \ pi = (154263) [/ matemática]. Vemos una vez más, todas las distancias entre las posiciones 1 y 2, 5 y 6, 3 y 4 de [matemática] \ pi [/ matemática] son exactamente Dos posiciones.
No es demasiado difícil encontrar todas las permutaciones diferentes con esta propiedad, e incluso obtener una respuesta completa a su pregunta.
