No puede explicarlo en términos de conjuntos finitos, estos no son más interesantes que la aritmética, ya que puede codificar conjuntos finitos en aritmética y codificar la aritmética en términos de conjuntos finitos, y todo es equivalente, no hay novedades especiales percepciones Debe explicarlo en términos de la noción fundamental de fundación, que es la teoría de los ordinales infinitos.
La forma de entender los ordinales es la forma original de Cantor: simplemente dibuja puntos en una línea, solo se acerca a los límites al subir, y pregunta “¿Qué tipo de estructuras puedo dibujar al permitir solo puntos límite a la derecha?” La clave es que tienes que bajar discretamente cuando marchas hacia la izquierda, por lo que cualquier estructura de este tipo es inductiva; necesariamente llegas al punto más a la izquierda después de un número finito de pasos. Entonces puedes probar cosas sobre ordinales con inducción, lo mismo que puedes sobre los enteros. Suponga que una declaración es verdadera para todos los puntos a la izquierda, luego es verdadera para el primer punto a la derecha de todos esos puntos, luego es verdadera para todos los puntos en el ordinal. Este principio de inducción transfinita es extremadamente poderoso.
Pero hasta ahora, no has presentado ningún ordinal. Acaba de dar reglas sobre dibujar puntos en una línea.
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Puedes dibujar enteros finitos, por supuesto, solo dibuja un número finito de puntos, pero también puedes dibujar el “omega” ordinal, simplemente dibujando todos los enteros de una manera que converja a un límite a la derecha. Luego puede dibujar “omega más uno” agregando el punto límite y seguir adelante, siempre discreto a la derecha. Muestre al adolescente que, comenzando con omega más uno y contando hacia atrás, necesariamente llega a cero después de un número finito (pero arbitrariamente grande) de pasos.
Luego puede introducir la suma ordinal (poner diagramas de puntos ordinales de extremo a extremo), la multiplicación ordinal (volar cada punto de un ordinal en otro ordinal de manera no superpuesta) y la exponenciación ordinal (puede definirlo como el límite de omega + omega-cuadrado + omega-cubicado, todas estas formas de extremo a extremo, o simplemente extendiendo cada ordinal al siguiente de tal manera que la longitud nunca sea mayor que 1).
Entonces puede definir epsilon-nada como el límite de exponenciar un conjunto de omega, y el adolescente puede ver que este ordinal existe, porque ha mostrado cómo incrustarlo en la línea, y está claramente bien fundado, porque si comienza yendo a la izquierda, a lo largo del ordinal llegarás al punto más a la izquierda en un número finito de pasos, porque ir a la izquierda nunca se acumula (no hay puntos de acumulación bajando).
Si ahora señala que este teorema, que epsilon-nada está bien fundado, se sabe que es imposible de probar usando la inducción en cualquier nivel finito de aritmética, tiene una conversión a las alegrías de la teoría de conjuntos.
En aritmética, como generalmente se define, en el mejor de los casos solo puede probar que omega ^ omega ^ omega … con un número finito de exponenciaciones está bien fundado. También puede probar que puede probar esto para todos los k. Pero para concluir que es cierto, debe pasar de una prueba de “existe una prueba para cada k” a una prueba de “esto es cierto para todas las k”, y no hay prueba de esto. El supuesto adicional que debe concluir a partir de la existencia de una prueba para cada k de que la afirmación es verdadera para todos los k es el supuesto de que la teoría es consistente (más o menos).
Luego puede definir ordinales contables cada vez más grandes, y este proceso describe formas cada vez más complejas de contar regresivamente, pero siempre terminando en cero en un número finito de pasos. Esta estructura inductiva es la base de todas las pruebas, por lo que no requiere ninguna motivación. En el extremo grande, puedes ver que las estructuras se vuelven infinitamente más complejas, de una manera que recuerda a la teología. Esta es la teología ordinal de Cantor.
entonces la teoría de conjuntos es simplemente una forma de hacer que la estructura ordinal se integre en una cosa simple, de modo que todas las matemáticas también se integren. No tenía que ser eso. Podrías haber definido ordinales axiomáticamente. Pero la gente no hizo eso, eligieron enmarcarlo en términos de colecciones infinitas.
La motivación habitual es una mierda molesta, ya que se centra en la teoría de conjuntos muy grandes, conjuntos de potencia, como los números reales. Esta teoría no es particularmente importante, porque en cualquier modelo real de la teoría de conjuntos, no se obtiene una representación razonable de la intuición con respecto a estos conjuntos de poder, porque el modelo es contable. Pero esta motivación funciona, las personas se emocionan cuando prueban que los números reales son incontables. Cantor también lo hizo. Pero la idea moderna es simplemente considerar esto, la incontabilidad de los reales, como un truco para calzar otro conjunto de ordinales sobre los ordinales de la teoría de conjuntos contables, solo para obtener un poco más de poder.
No necesita hacer eso con conjuntos de potencia, podría hacerlo de manera equivalente utilizando el axioma “cada conjunto tiene un conjunto de mayor cardinalidad”, que, con el axioma de elección, produce exactamente la misma torre de ordinales cuando está unido a teoría de conjuntos contables (sin conjunto de potencia) como en ZFC, porque ZFC es consistente con la hipótesis del continuo generalizado.
Lo que pasa con innumerables ordinales es que no puedes dibujarlos en una línea. Es por eso que es bueno que cualquier modelo razonable de teoría de conjuntos sea contable (ya sea por la construcción de Godel a partir de los axiomas o utilizando el teorema de Lowenheim Skolem). Esto significa que nunca tendrá que considerar ordinales que son demasiado grandes para dibujar.
