¿Cuáles son los requisitos previos para aprender análisis complejos?

Formalmente, Advanced Calc 101 debería cubrir todo lo que el curso supondrá conocido.

Pero en mi experiencia, podría ser bueno tomar una versión de pregrado de análisis complejo mientras todavía eres un estudiante de pregrado (si no es demasiado tarde). Si bien formalmente no hay requisitos previos para graduarse de Análisis complejo fuera del Cálculo avanzado 101, un curso de posgrado en Análisis complejo se moverá algo rápido, y en los EE. UU. En particular, un estudiante a menudo no lo habrá visto desde la Fórmula cuadrática en décimo grado, y no hay un equivalente de “Calc 1” para los números complejos requeridos por la mayoría de los programas de pregrado; tendrías que buscarlo como electivo. Cualquier base para la comodidad / familiaridad / intuición con integrales de ruta complejas, en particular, ahorrará la misma cantidad de tiempo y esfuerzo que uno tendría que gastar para ponerse al día en los próximos años.

Imagínese cómo sería tomar Advanced Calc 101 sin tomar Calc I y II primero … formalmente, no necesita Calc I porque de todos modos probará todos esos resultados, pero eso no será bueno paso.

Tomando mi esbelto volumen de A First Course on Complex Functions (1970) de GJO Jameson de la plataforma:

Los requisitos previos son el análisis real elemental y un poco de familiaridad con los espacios métricos. La teoría del espacio métrico requerida se expone en las páginas 1–7.

Dado que el teorema 1.1.1 es que C es un campo, la prueba es de aproximadamente 16 líneas o media página, se presume cierta familiaridad con el álgebra abstracta.

Los derivados parciales se mencionan en otra respuesta, hay tres páginas sobre Diferenciabilidad en C y en R ^ 2 de la página 34–37 de las cuales haré un esfuerzo para volver a escribir el párrafo final (lo siento, no hay TeX):

Volviendo a nuestra pregunta original sobre la comparación entre las dos definiciones de diferenciabilidad, notamos que [Teorema] 1.5.11 puede expresarse de manera muy económica de la siguiente manera: f es diferenciable como una función compleja si y solo si es diferenciable como una función en R ^ 2 y la matriz de sus derivadas parciales tiene la forma (lambda, -mu; mu, lambda). La lectura puede verificar fácilmente que si f está definido por f (x + iy) = x , entonces f es diferenciable en todas partes como una función en R ^ 2, pero no diferenciable en ninguna parte como una función compleja.

Esas tres páginas, incluido el teorema mencionado anteriormente y sus dos corolarios, definen las derivadas parciales que necesita, y si esa matriz se parece un poco a una matriz de Rotación – Wikipedia, entonces no le sorprenderá que la siguiente sección del libro sea 1.6 Las funciones exponenciales y trigonométricas . La fórmula de Euler: Wikipedia no se menciona por su nombre, sino en la página 39:

Para todas las z en C , defina

exp z = …; cos z = …, sin z = …

Cada serie converge para todos los complejos z, … Las siguientes propiedades son consecuencias inmediatas de las definiciones:

…

El número e ^ 1 se denota por e. Usamos la notación habitual para proporciones de funciones trigonométricas. …

Entonces, conocer claramente los conceptos básicos de la trigonometría también es un requisito previo. Pero, de nuevo, el análisis complejo redefine la trigonometría y tiene todas las propiedades a las que estamos acostumbrados en los reales.

En resumen, todo lo que realmente necesita es saber sobre secuencias y series y sumas, y también cómo hacer pruebas de epsilon-delta, que se manejan en un análisis real.

La mejor respuesta breve es la misma que para todos los cursos de matemáticas: los requisitos previos son lo que el Departamento de Matemáticas de su escuela dice que son. (Lo siento, a menos que su escuela diga lo contrario, Real Analysis es un “requisito positivo”, no un requisito (firme), no solo porque obtuve una A en CA en Brown sin haber tomado RA, no solo porque Brown no tenía RA como requisito previo para CA (al menos, no cuando era un estudiante allí), sino también porque Flanigan escribió un libro de texto completo sobre CA (primaria) para el cual el único requisito previo es Cálculo (Cálculo multivariable 2D sería un “buen tener “para ese libro, pero no es absolutamente necesario, ya que enseña el cálculo variable real 2D requerido para resaltar las conexiones con CA) y Lang escribió un texto de posgrado sobre CA en el que cubre, en los primeros 2 capítulos, todos los requisitos conceptos analíticos de RA.)

Pero CA se puede enseñar en múltiples niveles, desde múltiples puntos de partida, por lo que solo el Departamento de Matemáticas de su escuela conoce el nivel de preparación apropiado para el plan de estudios de CA en su escuela. Si está solicitando un estudio independiente, diría que un año de Cálculo, siendo una variable “muy agradable de tener” y una instalación, no solo familiaridad, con aritmética de números complejos (la geometría analítica de la aritmética compleja sería otra muy agradable de tener, por lo que recomendaría “Trigonometría avanzada”.)

HTH

El análisis real y los conceptos básicos de los números complejos serían imprescindibles.

Si bien no era necesario, descubrí que las cosas anteriores que había hecho en un curso de mecánica sobre oscilaciones me ayudaron a lidiar con las funciones trigonométricas, exponenciales y de registro complejas. Hacer un poco de topología métrica en paralelo también fue conceptualmente útil.

Emocionalmente, confieso que necesito un poco de paciencia al comienzo del curso, como demostramos minuciosamente, por las malas, que las reglas básicas de cálculo para lidiar con las extensiones de funciones continuas en el plano complejo permanecieron más o menos sin cambios, pero confía en mí, necesitas saber cómo verlo más tarde.

Encontré, como un consejo, el libro de texto de Ian Stewart ‘The Complex Plane’, un compañero muy útil para los materiales del curso real (en ediciones anteriores es ‘The Hitchhikers Guide to the Complex Plane’ pero, por desgracia, ha sobrevivido a su propia cultura pop ¡referencia!)