Sí, pero por una razón diferente a la que Benjamin dio.
Supongamos que ya hemos dado nuestro primer paso. Sin pérdida de generalidad, supongamos que este paso se encuentra en la primera dimensión positiva. Ahora calculemos la probabilidad de que regresemos al origen sin intervenir en las otras dimensiones k-1. Es
[matemáticas] \ sum_ {i = 0} \ frac {1} {(2k) ^ {2i + 1}} C_i [/ matemáticas]
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Donde C denota los números catalanes. Usando una función generadora podemos encontrar el valor exacto como
[matemáticas] \ frac {1} {k + \ sqrt {k ^ 2-1}} [/ matemáticas] (por cierto, esto representa un límite inferior en la probabilidad)
En el otro caso en el que entramos en otra dimensión primero, ahora podemos vincular la probabilidad de regresar al origen por p (k / 2) ^ 2, dividiendo las dimensiones por la mitad, cada una de las cuales contiene una de las dimensiones que ya hemos entrado. Por lo tanto tenemos
[matemáticas] p (k) <\ frac {1} {k + \ sqrt {k ^ 2-1}} + p (\ lfloor \ frac {k} {2} \ rfloor) ^ 2 <\ frac {1} { k} + p (\ lfloor \ frac {k} {2} \ rfloor) ^ 2 [/ math]
Con esto podemos probar inductivamente que [math] p (k) <\ frac {2} {k} [/ math]. Podemos ver que es cierto para k = 3, 4, 5 mediante inspección manual. Ahora suponga que es cierto para 3 <= m 5. Entonces
[matemáticas] p (k) <
\ frac {1} {k} + p (\ lfloor \ frac {k} {2} \ rfloor) ^ 2 <
\ frac {1} {k} + \ frac {4} {k ^ 2-1} = [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {k} + \ frac {4k} {k ^ 2-1} \ frac {1} {k} <
\ frac {2} {k} [/ matemáticas]
Entonces podemos establecer los límites
[matemáticas] \ frac {1} {2k} <\ frac {1} {k + \ sqrt {k ^ 2-1}} <p (k) <\ frac {2} {k} [/ matemáticas]
Con este límite podemos establecer el valor asintótico de p (k).
[matemáticas] p (k) <\ frac {1} {k + \ sqrt {k ^ 2-1}} + \ frac {4} {k ^ 2-1} [/ matemáticas]
A medida que k crece, el segundo término se vuelve insignificante y se muestra fácilmente que el primer término es asintóticamente equivalente a [math] \ frac {1} {2k} [/ math].
[matemáticas] p (k) \ sim \ frac {1} {2k} [/ matemáticas]
