El prototipo de 1 topos es la categoría 1 de conjuntos, y el prototipo de 2 topos es la categoría 2 de categorías. La arquetípica (∞, 1) -topos es la categoría (∞, 1) de las categorías (∞, 0). El patrón aquí es que la recopilación de todas las categorías (n, m) debería producir las prototipos (n + 1, m + 1) -posiciones.
Un uso importante de los topoi superiores es obtener una imagen de los tipos de estructura que hacen que una categoría superior sea “agradable”, y muchos de los teoremas de la teoría de categoría estándar se elevan a los de la teoría de categoría superior. En particular, hay encarnaciones más altas del lema de Yoneda. Cada (n, m) -categoría se integra en las (n, m) -posiciones de (n, m) -functores de sí misma en la (n, m) -categoría de (n-1, m-1) -categorías. ¡Esto significa que podemos razonar sobre categorías superiores utilizando nuestro conocimiento sobre categorías inferiores!
El sabor de topoi más alto está influenciado en gran medida por la geometría algebraica. Grothendieck inventó esquemas, que son functores contravariantes desde la categoría de anillos conmutativos hasta la categoría de conjuntos. Estos se generalizan hacia arriba, donde ahora observamos los functores contravariantes más altos, desde álgebras altamente estructuradas hasta prototipos de n-topos.
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Hay muchas formas de ver topoi más altos. Una mentalidad fructífera para mantener es que registran lo que significa ser un espacio más alto que está pegado a partir de piezas más pequeñas.
