¿Cuáles son las diferencias entre ser equivalente e implicar?

En lógica, una proposición [matemática] P [/ matemática] implica otra proposición [matemática] Q [/ matemática], a menudo escrita [matemática] P \ Rightarrow Q [/ matemática], significa que siempre que [matemática] P [/ matemática] es cierto, también lo es [math] Q [/ math] true.

[matemática] P [/ matemática] y [matemática] Q [/ matemática] son lógicamente equivalentes, a menudo escritas [matemática] P \ Leftrightarrow Q [/ matemática], significa cada una que implica la otra.

A veces sucede que [matemática] P \ Rightarrow Q [/ matemática] pero no [matemática] Q \ Rightarrow P [/ matemática]. Por ejemplo, tome [math] P [/ math] para ser [math] x = 0 [/ math] y [math] Q [/ math] para ser [math] xy = 0 [/ math]. Cualquier número de veces [math] 0 [/ math] es igual a [math] 0 [/ math], por lo que [math] P \ Rightarrow Q [/ math] es válido. Pero [matemática] Q [/ matemática] puede mantenerse sin [matemática] P [/ matemática], en particular, cuando [matemática] y = 0 [/ matemática] y [matemática] x = 1 [/ matemática], [matemática ] Q [/ math] es verdadero pero [math] P [/ math] no lo es.

LógicaMatemáticasSemántica

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‘p implica q’ es falso solo cuando el antecedente ‘ p ‘ es verdadero (T) y la consiguiente ‘ q ‘ es falsa (F). Lo contrario cambia el antecedente para formar ‘ q implica p ‘ que es falso solo cuando ‘ q ‘ es verdadero (T) y ‘ p ‘ es falso (F). ‘ p es equivalente a q ‘ es verdadero (T) solo cuando ‘ p ‘ y ‘ q ‘ tienen el mismo valor de verdad (ambos T o ambos F). La equivalencia también se lee como ‘ p si y solo si q ‘ y lo inverso (‘ q si y solo si p ‘) también será verdadero (T) solo cuando ‘ q ‘ y ‘ p ‘ tienen el mismo valor de verdad ( ambos T o ambos F). Esta tabla muestra estas relaciones semánticas:

‘ p ‘ y ‘ q ‘ tienen los valores de verdad que se muestran en las columnas 1 y 3 (de izquierda a derecha). Los valores de verdad para ‘p implica q,’ ‘ q implica p, ‘ y ‘ p si y solo si q ‘ se muestran en las columnas 2, 4 y 5, según lo determinado por los valores para ‘ p ‘ y ‘ q ‘ en columnas 1 y 3.

Sin embargo, tenga en cuenta que esta interpretación que utiliza esta semántica binaria o booleana se denomina condicionalidad o implicación material y equivalencia material . Conduce a las conocidas paradojas de la implicación material basada en su interpretación extensional y semántica. La resolución de esas paradojas requiere una interpretación intensiva más sofisticada utilizando la semántica de los mundos posibles.

Gabriele Giordano

En la mayoría de los países que lo celebran, el día de Navidad siempre cae el 25 de diciembre. Y cada 25 de diciembre es el día de Navidad. No puedes tener uno sin el otro. Son equivalentes Entonces, si P es la declaración: “hoy es 25 de diciembre” y Q es la declaración: “hoy es día de Navidad”, entonces podríamos decir:

[matemáticas] P \ implica Q \ quad [/ matemáticas] (P implica Q)

[matemáticas] Q \ implica P \ quad [/ matemáticas] (Q implica P)

Así

[matemáticas] P \ iff Q \ quad [/ matemáticas] (P y Q son equivalentes)

P y Q son equivalentes significa que esencialmente dicen lo mismo. Podrías reemplazar “25 de diciembre” con “Día de Navidad” en una conversación y no habría ninguna diferencia.

Compare esto con el Día de Acción de Gracias. La fecha de Acción de Gracias cambia cada año en los Estados Unidos, pero siempre cae en jueves. Sea R la declaración: “hoy es el Día de Acción de Gracias” y S sea la declaración: “hoy es jueves”. Estas declaraciones no son equivalentes, porque hay muchos jueves que no son el Día de Acción de Gracias.

Podemos decir:

[matemáticas] R \ implica S \ quad [/ matemáticas] (R implica S)

porque cada Día de Acción de Gracias también es jueves.

Pero la declaración inversa ([matemática] S \ implica R [/ matemática]) no es cierta porque no todos los jueves son Acción de Gracias. Imagine la confusión si cada vez que quisiera decir “jueves” dijera “Acción de Gracias”. A menos que fuera a fines de noviembre, nadie tendría idea de a qué día se refería realmente.

Esta es la diferencia entre implicación y equivalencia.

Terry Rankin

[matemáticas] \ begin {align *} \ text {Implicaton:} \\ [4 | n \ Rightarrow 2 | n] & \ nRightarrow [2 | n \ Rightarrow 4 | n] \\\\ \ text {Equivalencia:} \\ [2 | n] & \ Leftrightarrow [n \ text {is even}] \ end {align *} [/ math]

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Gabriele Giordano

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