Las matemáticas se basan en axiomas. ¿Cuáles son los axiomas del cálculo?

Los axiomas estándar sobre los que se construye el cálculo son los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel.

Eso puede parecer excesivo: ¿por qué debería importarnos definir conjuntos si realmente solo queremos definir límites, derivadas e integrales?

En cierto sentido, es excesivo, pero probablemente sea menos complicado usar todo el poder de la teoría de conjuntos en lugar de tratar de imaginar qué puede hacer para poder definir el cálculo. La razón es bastante simple: para definir el cálculo, debe ser capaz de definir los números reales, los subconjuntos de los números reales, los productos cartesianos de los subconjuntos de los números reales (si desea estudiar funciones multivariables) y las funciones entre ellos.

Escribir axiomas para los números reales no es tan difícil: hasta el isomorfismo, los números reales se definen por el hecho de que son un campo ordenado con la propiedad de límite superior mínimo. Por lo tanto, escriba los axiomas de campo, escriba los axiomas adicionales para convertirlos en un campo ordenado y termine con el último axioma de segundo orden (la propiedad de límite superior).

Sin embargo, si desea comenzar a hablar de subconjuntos, productos y funciones, las cosas rápidamente se vuelven más difíciles: debe describir la composición de las funciones y cómo podría tomar uniones de conjuntos … Al final del día, la teoría de conjuntos le ofrece la capacidad de hacer todo esto También te da mucho más , pero quizás eso pueda ser perdonado.

Los siguientes pueden verse como los cuatro axiomas para el cálculo:

1. Un campo de números reales: forman grupos abelianos con la suma y la multiplicación, y la multiplicación se distribuye sobre la suma.
2. Un campo ordenado: hay una relación <(menor que) tal que:

1. La tricotomía se cumple: para dos números reales $ a $ y $ b $ uno y solo uno de los siguientes es verdadero: [matemática] a b, [/ matemática] o [matemática] a = b [/ matemática ]
2. Transitividad: Si [matemática] a
3. Aditividad: Para cualquier número real [matemática] c, a
4. Multiplicatividad: Para [matemática] a 0 [/ matemática] entonces [matemática] ac ac [/ matemáticas]

Los cuatro subconjuntos populares de números reales [matemática] R [/ matemática] son ​​[matemática] N [/ matemática], [matemática] W, Z [/ matemática] y [matemática] Q [/ matemática] (con [matemática] N \ subconjunto W \ subconjunto Z \ subconjunto Q \ subconjunto R) [/ math]. [matemática] N [/ matemática] es un conjunto de enteros positivos llamados números naturales, [matemática] W [/ matemática] es [matemática] N + {0} [/ matemática] llamada números enteros, [matemática] Z [/ matemática] es un conjunto de todos los enteros, y [math] Q [/ math] es un conjunto de números racionales. Los números irracionales son números reales que no son racionales y también es un subconjunto popular de [matemáticas] R [/ matemáticas]. Para enteros, a modo de definición tenemos (a) si [math] n \ en Z [/ math], entonces uno y solo uno de los siguientes es verdadero: [math] n \ in N [/ math], [ matemática] -n \ en N, [/ matemática] o [matemática] n = 0 [/ matemática], (b) si [matemática] n \ en Z [/ matemática] y [matemática] n> 0 [/ matemática] , entonces [matemáticas] n \ en N [/ matemáticas], (c) si [matemáticas] n \ en N [/ matemáticas], entonces [matemáticas] n + 1 \ en N [/ matemáticas], (d) si [ matemática] n \ en N [/ matemática] y [matemática] n \ neq 1 [/ matemática], luego [matemática] n-1 \ en N. [/ matemática] Entre estos cinco subconjuntos, solo [matemática] Q [/ matemática] satisface (1); [matemáticas] N, W, [/ matemáticas] y [matemáticas] Z [/ matemáticas] satisfacer (3); los cinco satisfacen (2); y ninguno satisface (4).

Usando los cuatro axiomas anteriores, se pueden establecer otras propiedades interesantes de números reales como la desigualdad de triángulos, el principio de Arquímedes, la inducción, la densidad de los racionales, etc.

Probablemente no sea posible establecer los axiomas del cálculo como si difirieran de los axiomas principales que definen las matemáticas constructivas modernas. En su mayor parte, ZFC es tanto la raíz del cálculo como del álgebra. Tenemos nuevos sistemas axiomáticos en desarrollo, pero no parece haber uno específico para el cálculo, aparte de quizás los axiomas del análisis real o complejo (anillos).

Lo que quiero decir con la última parte es que existe una operación de multiplicación y suma con distribución, conmutatividad y asociatividad, y que estas estructuras (números reales y complejos) están completas (sin espacios).

La palabra axioma significa verdad evidente por sí misma. El cálculo tiene muchas verdades evidentes que llamamos teoremas. El cálculo es esencialmente un método por el cual calculamos cantidades variables.

La trigonometría, el álgebra y la geometría abordan cantidades y valores fijos; Esto se traduce en soluciones fijas a problemas fijos. El cálculo es una herramienta increíblemente poderosa porque hace preguntas como “¿Cuál es el valor máximo de una cantidad dada?” O “¿A qué intervalo aumenta, disminuye y a qué intervalos permanece esta cantidad variable?”. Los axiomas que definen la trigonometría, la geometría y el álgebra se utilizan para medir el comportamiento de las variables en el contexto del cálculo.

En geometría, definimos curvas. En álgebra, los cuantificamos y enumeramos. En el cálculo, usamos esa curva para representar lo que estaba haciendo una variable en un intervalo dado; y usamos los axiomas que anteriormente solo se aplicaban a valores fijos para enumerar y cuantificar cómo cambia esa variable. Las funciones algebraicas, así como los axiomas geométricos, definen las condiciones de contorno y los límites de un valor variable dado al acercarse a otro.

Los teoremas que nos permiten hacer esto en el cálculo son instancias aplicadas basadas en axiomas desarrollados en matemática pura que definen universalmente las propiedades de un principio dado independientemente de cómo se use.

La verdadera pregunta debería ser ¿cuál es el propósito y el uso del cálculo? Las formas superiores de esta herramienta nos permiten diferenciar entre dos conjuntos de variables y analizar analíticamente las propiedades algebraicas de las curvas geométricas. Esto se llama geometría analítica.

Los teoremas son cómo aplicamos una regla a una instancia que sabemos que debe ir para cada instancia de esa regla. Estos teoremas son la base axiomática del cálculo que se ha expuesto para construir una gran cantidad de disciplinas matemáticas.

La mayoría de las matemáticas de las que hablamos se basan en la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel (ZF). (O ZFC, si quieres el axioma de elección. Y deberías, pero no voy a debatir eso aquí).

ZFC es muy simple. A partir de eso, podemos construir sistemas matemáticos increíblemente complejos.

El cálculo está construido con ideas que dependen de ZFC. Y el cálculo es una consecuencia natural de esas ideas y los axiomas sobre los que descansan.

Desde la perspectiva de los axiomas, el cálculo no es nada especial. Los axiomas no tienen “conciencia” de que el cálculo existe.

A eso me refiero con que los axiomas no son los “axiomas del cálculo” especiales. Son solo los axiomas de nuestras matemáticas.