Las soluciones “clásicas” de ecuaciones diferenciales parciales requieren un cierto grado de suavidad, a veces bastante suavidad. Muchos resultados de regularidad, por ejemplo, dicen que las soluciones a algunas PDE son de hecho analíticas, lo cual es lo más sencillo posible.
Por lo tanto, si uno está mirando un PDE pero no conoce su solución (si es que existe), es natural buscar uno en el espacio de todas las funciones que tienen la regularidad que debería tener la solución. El razonamiento es: si la solución existe, ¡la encontraremos allí!
Sin embargo, el problema es que los espacios de las funciones suaves “clásicas” no suelen satisfacer las propiedades clave necesarias para que uno emplee los métodos de análisis con ellos. Una de esas propiedades clave es la integridad. Sin integridad, no puede utilizar el análisis con gran efecto. Esto significa en esencia: sabemos dónde buscar la solución, pero ninguna de las herramientas matemáticas que tenemos funcionará allí.
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Esto llevó a los investigadores a debilitar ligeramente los requisitos de regularidad de los espacios de solución donde buscan soluciones. La forma precisa en que se hizo esto es algo técnica, pero el resultado final son espacios de funciones que están completos y capturan muchos (pero no todos) los requisitos de regularidad para la solución de PDE. La idea es la siguiente: encontrar una solución en nuestro nuevo espacio de solución expandida, y luego demostrar que esta solución es de hecho regular en la forma tradicional (no debilitada). Esto divide el problema en dos subproblemas separados: 1. Probar la existencia, 2. Probar la regularidad. En espacios clásicos de funciones suaves, probar (1) es imposible y (2) es trivial. En los espacios de Sobolev, la prueba (1) es posible y la prueba (2) es factible. Una mejor situación para estar, diría.
De hecho, una forma de construir espacios de Sobolev recuerda mucho al salto de los números racionales a los números reales en matemáticas. En el conjunto de números racionales, el análisis es prácticamente inútil. Si llenamos los vacíos de alguna manera y agregamos los números irracionales para el conjunto de números reales, entonces el análisis de repente se vuelve útil. La forma matemática de hacer esto se conoce como formar la terminación del conjunto de números racionales. De hecho, los espacios de Sobolev son compleciones de espacios de funciones suaves.
