Para mí, el ganador es:
Teoría de los números
Este es el tema que estudia los objetos matemáticos más básicos: los números naturales. Por lo tanto, no es muy difícil entender muchos de los teoremas profundos. Sin embargo, hay muchas preguntas abiertas que son fáciles de entender y muy difíciles de resolver (en el sentido de que aún no se han probado), por ejemplo, primos gemelos, primos de Fermat, primos de la forma [matemáticas] n ^ 2 + 1 [/ matemáticas ], Conjetura de Collatz, etc. Dos de los problemas del milenio, la hipótesis de Riemann y la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, son preguntas en teoría de números. Sin embargo, también hay hermosos teoremas que puede aprender un estudiante universitario dispuesto, por ejemplo, el Teorema del número primo, el Teorema de Dirichlet sobre números primos en progresiones aritméticas o el Postulado de Bertrand.
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Aunque los problemas en la teoría de números a menudo son fáciles de enunciar, su solución a menudo requiere muchas matemáticas profundas y muy abstractas: análisis complejo, análisis armónico, teoría de Galois, teoría de campo de clase, geometría algebraica, etc.
La teoría de números se usa en la vida cotidiana. Cada vez que se conecta a wifi, utiliza el correo electrónico o la banca por Internet, para garantizar la seguridad de los datos, debe utilizar algoritmos de cifrado basados en los resultados de la teoría de números.
No es muy difícil encontrar un problema que no se pueda resolver por sí mismo: solo piense en una ecuación de diofantina aleatoria y tiene una buena posibilidad de que nadie pueda resolverla. Puedes jugar con él para inventar un nuevo campo en matemáticas 🙂
También hay muchos ejemplos en NT que explican por qué necesita pruebas rigurosas en lugar de decir que un teorema se cumple porque es válido para varios miles de millones de números; por ejemplo, la pregunta de si hay más números primos de la forma [matemáticas] 4k + 1 [/ matemáticas ] o [matemáticas] 4k + 3 [/ matemáticas]. Hasta alrededor de [matemáticas] 100 000 [/ matemáticas], siempre hay más de la segunda forma, sin embargo, se puede demostrar que el plomo cambia infinitamente a menudo. Hay un gran artículo sobre esto de Andrew Granville llamado Prime Number Races, cuyas primeras páginas se pueden leer incluso sin antecedentes matemáticos.
También hay muchos otros temas que amo y sobre los cuales podría haber escrito una lista de razones. Esto incluiría teoría de juegos, análisis funcional, topología algebraica, geometría algebraica, teoría de grupos, lógica y complejidad.