¿Existe una fórmula para expresar la función [matemáticas] f (x) = x + (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) + \ cdots + (x – x) [/ math]?

Podemos escribir esto como,

[matemáticas] \ sum (xn) [/ matemáticas], en [matemáticas] n = 0-x [/ matemáticas]

[matemáticas] = x + (x-1) + (x-2) + (x-3) + (x-4)… .. (xx) [/ matemáticas]

Si [matemáticas] x = 1, [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + 0 = 1 [/ matemáticas]

Si [matemáticas] x = 2, [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 + 1 + 0 = 3 [/ matemáticas]

Si [matemáticas] x = 3, [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3 + 2 + 1 + 0 = 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {x ^ 2 + x} {2} [/ matemáticas]

Gracias por A2A

¡si! Hay una fórmula que puede expresar este tipo de suma.

[matemáticas] x + (x-1) + (x-2) + (x-3) +… (xx) [/ matemáticas] se llama serie aritmética. Gaus solía resolver problemas como un niño de escuela.

En resumen, la fórmula para resolver la ecuación anterior es [matemática] Suma (x) = {x * (x + 1)} / 2 [/ matemática]

El truco es simple.

tiene [matemática] 5+ (5-1) + (5-2) + (5-3) + (5-4) + (5-5) [/ matemática] y permite revertir la serie y agregarla al original .

[matemáticas] (5-5) + (5-4) + (5-3) + (5-2) + (5-1) + x [/ matemáticas]

esto resulta .

[matemáticas] 6 + 6 + 6 + 6 + 6 [/ matemáticas]

Como agregamos el mismo número dos veces, no tenemos que dividirlo por dos.

[matemáticas] 30/2 [/ matemáticas] = [matemáticas] 15 [/ matemáticas]

Reordenando esto, tenemos:

f (x) = (xx) +… + (x-3) + (x-2) + (x-1) + (x-0)

f (x) = 0 + 1 + 2 +…. + (x-3) + (x-2) + (x-1) + x

Usaré pruebas pictóricas para encontrar esta suma.
Supongamos que queremos encontrar 1 + 2 + 3 + 4+ 5
Representaremos estos números mediante ■
Si ve, la suma de estos números es igual a la mitad del total de elementos incluidos en un cuadrado 5 × 6

□ □AGURAGORGOORGO®
■ □□□□
■■ □□□
■■■ □□
■■■■ □
■■■■■

Verá el mismo patrón con cualquier número.

Entonces, 1 + 2 + 3 … + x = x (x + 1) / 2

f (x) = x (x + 1) / 2

Para probar esto, podemos usar la inducción.

Para x = 1, f (x) = 1 (1 + 1) / 2 = 1. Entonces esto es correcto

f (x) = 1 + 2 +… + (x-2) + (x-1) + x
f (x) = f (x-1) + x ……… (A)

f (x-1) = (x-1) (x-1 + 1) / 2
f (x-1) = (x-1) x / 2
f (x-1) = (x ^ 2 – x) / 2 ……… .. (B)

Reemplazar (B) en (A)
f (x) = (x ^ 2 – x) / 2 + x
f (x) = (x ^ 2 + x) / 2
f (x) = x (x + 1) / 2

¡Entonces lo probamos!

¿Ves que para f (5) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 puedes reescribir como f (5) = (5 – 2) + (4 – 1) + (3 – 0) + (2 + 1 ) + (1 + 2) = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 5 = ((x + 1) / 2) * x

para f (6) = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (6 – 5/2) + (5 – 3/2) + (4 – 1/2) + (3 + 1/2) + (2 + 3/2) + (1 + 5/2) = 7/2 + 7/2 + 7/2 + 7/2 + 7/2 + 7/2 = 6 * (7/2) = (( x + 1) / 2) * x

f (x) = x * (x + 1) / 2 significa que la suma del número natural n es igual al promedio de x y 1 multiplicado por x.

Puede probar esta fórmula usando suma parcial o progresión aritmética.

(Haga clic para ampliar. Usé una imagen para alinear todos los términos)

Tenga en cuenta que tiene términos [matemática] (x + 1) [/ matemática]. [matemáticas] 1 \ a x [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. Es por eso que necesitas multiplicar por [matemáticas] (x + 1) [/ matemáticas] en la cuarta línea.

Este es el truco de Gauss.

Quizás sea más fácil de ver cuando escribe su función como

[matemáticas] f (x) = 1 + 2 + 3 + \ ldots + x [/ matemáticas]

Si X es un número entero y f (X) será la función aquí vamos …

f (X) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ………………………………………………………. + X

f (X) = X + X-1 + X-2 + X-3 ………………………………………………… .. + 1

2f (X) = X (X + 1)

f (X) = X (X + 1) / 2

Aquí vamos. Derivó con éxito la fórmula que da la suma de los números antes de X e incluye X, así que vamos a comprobarlo. X = 5.f (5) = 5 (5 + 1) / 2 = 15.

f (5) = 15

f (5) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, por lo que es cierto para todas las X. Nota: f (X) son números triangulares. (Cortesía: Carl Fredrich Gauss solo diez años entonces …). la función derivada se da de la siguiente manera

f (X) = X (X + 1) / 2

De la f (x) dada, dado que puede extenderse de x, x – 1 a x – x, debemos saber que f (x) se define solo cuando x es un número entero.

Después de saber esto, esto es solo un resumen de una serie aritmética. Puede encontrarlo fácilmente, pero luego debe limitar f (x) a x es solo un número entero.

Sí hay. Es x (x + 1) / 2. Solo una respuesta rápida por teléfono, espero que alguien pueda poner una prueba. O puede buscar en línea la suma de números naturales debajo de n.

Podemos escribirlo como
(X + x + x + …… hasta xtimes) – (1 + 2 + 3 + 4… .. hasta x veces)
O x * x -x (x-1) / 2
Y = x ^ 2- x (x-1) / 2 = x ^ 2/2 – x / 2
O x (x-1) / 2