La motivación para la teoría de la medida no es que la integral de Riemann esté incompleta en ningún sentido. Es una generalización del concepto de integración. En matemáticas, deshacerse de una métrica (es decir, la noción de distancia) es una forma de generalización.
El análisis de espacios métricos se generaliza a la topología de esta manera; La geometría riemanniana se generaliza a la geometría diferencial. Hablando en términos generales, una generalización similar se encuentra entre la integral de Riemann y la teoría de la medida.
Una forma de teoría de la medida para el conjunto de números reales es la medida de Lebesgue. La integral de Lebesgue es una generalización natural de contar. Hay una diferencia fundamental entre una integral de Riemann y una integral de Lebesgue. Tomemos una función [math] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math]. Queremos definir una integral (o una medida del ‘área bajo la curva’) para esta función en un conjunto, digamos [math] [a, b] [/ math]. Hay dos formas de hacerlo:
- Si [matemáticas] \: a \: = \: \ sqrt [3] {81} +2 \ sqrt [3] {9} +4 [/ matemáticas] y [matemáticas] b \: = \: \ izquierda (2 \: + \: \ frac {1} {a} \ right) ^ 3 [/ math], ¿cuál es el valor de b?
- ¿Cuáles son las mejores películas basadas en matemáticas?
- Hay una calculadora en línea que es capaz de 2 ^ 1000000. ¿Hay alguna súper calculadora capaz de 2 ^ 4294967296 (o algo más como 10 ^ 10 ^ 100)?
- Disfruto mucho de las matemáticas y estoy bien. Sin embargo, odio cualquier otro tema y soy malo en todos ellos además de las matemáticas. ¿Cuál sería una manera de arreglar esto?
- ¿Qué hay más allá de la naturaleza "plug-and-chug" del cálculo?
1. Divida el intervalo [a, b] en intervalos más pequeños y resuma las áreas de los rectángulos resultantes: esta es la integral de Riemann
2. Divida el conjunto de valores de f, es decir, el conjunto [math] f ([a, b]) [/ math] en subconjuntos más pequeños. [math] f ^ {- 1} [/ math] de cada uno de estos subconjuntos son subconjuntos de [math] [a, b] [/ math]. Si definimos longitudes para subconjuntos de [a, b], podemos calcular la integral sumando las longitudes multiplicadas por el valor de la función correspondiente; esta es la integral de Lebesgue.
La teoría de la medida es más adecuada para la teoría de la probabilidad porque podemos definir una medida en cualquier espacio. Para la mayoría de los propósitos prácticos, la integral de Riemann es suficiente, pero el desarrollo conceptual a menudo se valora más que las aplicaciones prácticas en matemáticas.
