Solo hay dos soluciones, a saber, [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]. No creo que haya una solución “analítica”, pero hay una manera de demostrar que solo hay dos soluciones.
Reorganizar para obtener [math] \ dfrac {\ ln x} {x} = \ dfrac {\ ln 2} {2} [/ math].
Deje [math] f (x) = \ dfrac {\ ln x} {x} [/ math]. Queremos resolver [matemáticas] f (x) = f (2) [/ matemáticas].
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Tenga en cuenta que [matemáticas] f ‘(x) = \ dfrac {x \ cdot \ frac {1} {x} – \ ln x \ cdot 1} {x ^ 2} = \ dfrac {1 – \ ln x} {x ^ 2} [/ matemáticas].
Para [matemáticas] 0 <x 0 [/ matemáticas]. Entonces, [matemática] f (x) [/ matemática] está estrictamente aumentando sobre [matemática] (0, e] [/ matemática]. Por lo tanto, [matemática] f (x) = f (2) [/ matemática] tiene en más una solución [matemática] x \ in (0, e] [/ matemática].
Para [matemáticas] x> e [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] f ‘(x) <0 [/ matemáticas]. Entonces, [matemática] f (x) [/ matemática] está disminuyendo estrictamente sobre [matemática] [e, \ infty) [/ matemática]. Por lo tanto, [math] f (x) = f (2) [/ math] tiene como máximo una solución [math] x \ in [e, \ infty) [/ math].
Ahora, que hemos demostrado que hay como máximo dos soluciones, si podemos encontrar dos soluciones, entonces sabemos que hemos encontrado todas las soluciones. Claramente, [matemáticas] f (2) = f (2) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (4) = f (2) [/ matemáticas]. Por lo tanto, las únicas soluciones son [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas].
EDITAR: Si originalmente estaba tratando de resolver la ecuación [matemáticas] x ^ 2 = 2 ^ x [/ matemáticas], entonces hay una tercera solución [matemáticas] x \ aprox -0.766665 [/ matemáticas] (Justin Rising señala esto en un comentario a continuación). Sin embargo, al tomar registros y decir [math] \ ln (x ^ 2) = 2 \ ln x [/ math], ha restringido [math] x [/ math] para que sea positivo, por lo que solo hay dos soluciones a [matemáticas] 2 \ ln x = x \ ln 2 [/ matemáticas].
