Una función es analítica si, cerca de cualquier punto dado, puede escribirse escrita como una serie de potencias.
Para ser un poco más preciso (y restringir al caso de números complejos [math] \ mathbb {C} [/ math]): deje que mi función sea [math] f (z) [/ math]. Es analítico en un punto [matemático] z_0 \ in \ mathbb {C} [/ matemático] si para algún punto [matemático] z [/ matemático] “cercano” a [matemático] z_0 [/ matemático] (es decir, [ matemáticas] | z – z_0 | <R [/ matemáticas] por alguna radio fijo [matemáticas] R [/ matemáticas]), podemos escribir
[matemáticas] f (z) = c_0 + c_1 (z – z_0) + c_2 (z – z_0) ^ 2 + \ ldots [/ matemáticas]
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para alguna elección de números complejos [matemática] c_i [/ matemática].
Los ejemplos clásicos de funciones analíticas para números reales son funciones cuyas expansiones de Taylor convergen a dichas funciones, por ejemplo, [math] \ sin (x), e ^ x, \ frac {1} {x} [/ math].
En el caso complejo, algo verdaderamente sorprendente es cierto: la función de una variable compleja es analítica en un punto si y solo si tiene una derivada compleja continua alrededor de un punto, lo que también es equivalente a satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann en Un barrio abierto del punto.
