Oh, Dios no. Esto no es cierto sobre ningún anillo base, lo que significa que es falso incluso para espacios vectoriales e incluso para grupos abelianos viejos.
Para ser claros, ya que la redacción es un poco confusa: si [math] \ varphi: M \ to M [/ math] es un endomorfismo surjective, entonces el homomorfismo inducido [math] \ bar {\ varphi}: M / \ ker \ varphi \ to M [/ math] es ciertamente un isomorfismo. Pero definitivamente no es cierto que el núcleo debe ser trivial, por lo que [math] \ varphi [/ math] en sí no necesita ser un isomorfismo.
De hecho, tome cualquier módulo [matemático] N [/ matemático] sobre cualquier anillo, y forme el producto directo
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[matemáticas] M = N \ oplus N \ oplus N \ oplus N \ oplus \ ldots [/ math]
(Por cierto, puede usar una suma directa o un producto directo aquí, no importa). Deje que [math] \ varphi: M \ to M [/ math] sea el operador de “desplazamiento a la izquierda”
[matemáticas] \ varphi (n_1, n_2, n_3, \ ldots) = (n_2, n_3, \ ldots) [/ math]
¿Ves lo que hace esto? Todos se acercan a la izquierda y [math] n_1 [/ math] se despide.
¿Es esto sobreyectivo? ¿Qué es el núcleo?
Como casos especiales simples, puede usar el operador de desplazamiento a la izquierda en [math] \ mathbb {R} ^ \ mathbb {N} [/ math], un espacio vectorial real o [math] \ mathbb {Z} ^ \ mathbb { N} [/ math], un grupo abeliano.
