¿Cuáles son las dificultades más comunes que las personas tienen al estudiar matemáticas teóricas?

Para ser sincero, no creo que el obstáculo principal al comienzo del estudio sean los conceptos, sino simplemente el uso correcto del lenguaje. Mi experiencia proviene del análisis de calificaciones, pero estoy seguro de que esto se aplica en otros lugares.

La gente entra con la expectativa de que los objetos matemáticos son de alguna manera diferentes de todo lo que tratan, lo que es cierto en cierta medida, pero también es un malentendido muy desafortunado que conduce a serias dificultades. Esto se manifiesta en pruebas muy pobres que no solo son lógicamente incorrectas, sino que con frecuencia no tienen sentido.

Sin embargo, estas mismas personas no tendrían problemas para explicar a un amigo en una carta escrita las instrucciones para reparar algún electrodoméstico en su hogar. Sin embargo, una vez que caen en las matemáticas, su claro pensamiento lógico se desconecta repentinamente de su lenguaje y escriben cosas que no están mal, pero que no tienen sentido. Nunca enviarían una carta con verbos, errores de tiempo o que confunden las preposiciones de adjetivos porque se dan cuenta de que, o bien conduce a la ambigüedad o el error simplemente lleva a una cadena de palabras que no significan nada juntas, sin embargo, usted ve pruebas como esta * todas tiempo * desde el comienzo del análisis de los alumnos.

Cuando comencé mi estudio de análisis, tuve un profesor que me enseñó a mirar las matemáticas de otra manera. La diferencia en la calidad del trabajo que produje como resultado fue como comparar día y noche. Y ahora estoy haciendo un doctorado en matemáticas.

Ejemplos:

A continuación se presentan algunos temas muy comunes en lapsos de comprensión que se derivan del mal uso del lenguaje. Algunas de estas cosas son pedantes de mi parte, y por estas nunca las marcaría mal en la tarea, pero siempre lo señalaría.

Error “Existe x” para “por cada x”

Este realmente me confunde cuando lo consigo en soluciones. Si simplemente lees las oraciones y entiendes lo que dicen, entonces este tipo de error debería ser tan claro como el día, pero este es un error muy común. La diferencia entre “Existe una persona que quiere darme un millón de dólares” versus “Todos quieren darme un millón de dólares” no debería ser más difícil de determinar solo porque “personas” y “dólares” están siendo reemplazados por conceptos matemáticos .

Usando preposiciones como adjetivos

Esta es una mascota mía algo pedante. Algunas personas pueden ver esto como simplemente demasiado pedante, pero se sorprendería * mucho * de cómo esta simple supervisión que hacen casi todos los matemáticos puede tener un efecto de bola de nieve en el papel de un estudiante confundido,

Por ejemplo: una función es un conjunto de pares ordenados. Por lo tanto, la información significativa que esto codifica sobre una función es un dominio y un rango. Sin embargo, la gente continúa diciendo que las funciones son “sobre”. ¿Sobre qué? Su rango? Bueno, eso siempre es cierto. Creo que la razón por la que las personas hacen esto es por los desafortunados términos “inyectivo, sobreyectivo”. Injective es un adjetivo porque es una propiedad de una función, Surjective es una preposición , es una relación entre una función y un conjunto específico. Un error similar es decir algo como: “Las líneas son paralelas”, ¿paralelas a qué?

No ayuda a los estudiantes a darse cuenta de que estos términos son preposiciones cuando la mayoría de los matemáticos practicantes también los usan como adjetivos. He visto algunos efectos de bola de nieve muy impresionantes derivados de una pregunta redactada con este error que terminó dándole un significado muy ambiguo.

Imagínese si le pide instrucciones a alguien y le dicen: “¿Oh mi casa? Está debajo”.

De nuevo, en lenguaje no haces esto. Te das cuenta de que esto es ambiguo o sin sentido. Sin embargo, por alguna razón en matemáticas …

Publicaré más cuando les venga a la mente.

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Pensar que los grupos, los anillos y los campos son “generalizaciones de números”. Esta es una de las formas en que el álgebra a menudo se presenta desde el principio, y es una excelente manera de mostrar cómo ciertas propiedades familiares son realmente solo consecuencias de algunas propiedades simples y de gran alcance. Sin embargo, en última instancia, esta es una forma bastante tóxica de pensar sobre el álgebra. Los sistemas numéricos como los enteros, los racionales o los números complejos son, en cierto sentido, ejemplos degenerados de objetos algebraicos. La operación de grupo generaliza la idea de composición de funciones , no de suma de enteros. Un anillo generaliza la noción de funciones que asignan un número a cada punto de un espacio. Los grupos cíclicos finitos son grupos finitos atípicos; un grupo finito más típico sería algo así como GL (n, q). Para los anillos y los campos es difícil dar un buen ejemplo, pero hay cosas buenas a tener en cuenta, por ejemplo, el campo de las funciones meromórficas en una variedad compleja o el extremo del anillo (V) de endomorfismos lineales de un espacio vectorial.
Tratar con la sobrecarga de información involucrada, por ejemplo, en la taxonomía de los anillos conmutativos con identidad. La motivación para el álgebra conmutativa proviene de dos lugares distintos: primero, del análisis complejo y la geometría algebraica, y, segundo, de la teoría de números. Es importante comprender la motivación si desea tener alguna esperanza de recordar qué son los PID, los DE, los DVR, etc. y cómo encajan entre sí.
Pasar de comprender las cosas puntiagudas a comprenderlas estudiando los mapas entre ellas.
En las clases de matemáticas de nivel inferior, generalmente se manejan ecuaciones, desigualdades ocasionales y biyecciones entre conjuntos. En matemáticas más avanzadas, debe tomarse en serio cosas como las desigualdades y los mapas inyectivos pero no surjective / surjective-but-no-inyective. Esto es mucho más difícil de lo que parece y requiere una buena cantidad de cableado en su cerebro.
Pensar que cada problema puede resolverse en un solo paso, como en un problema de concurso de matemáticas. En realidad, incluso para comprender los conceptos básicos, debe dedicar mucho tiempo a desarrollar una intuición para cada nuevo objeto.
En general, pasar de los problemas en los que puede progresar mediante la manipulación rutinaria de fórmulas con la información ocasional a los problemas en los que pasa la mayor parte del tiempo pensando en métodos de ataque menos tangibles. Por ejemplo, un problema de análisis común es establecer una desigualdad eligiendo cuánta información dar en cada paso. No puedes hacer esto por la fuerza bruta.

[a] Si no está seguro de cómo consideraría la suma en, digamos, [math] (\ mathbb {R}, +) [/ math] como composición de funciones, solo tenga en cuenta que [math] (\ mathbb { R}, +) = \ operatorname {Isom} ^ + (\ mathbb {R} ^ 1) [/ math], el grupo de isometría que preserva la orientación de la línea real. El elemento 3 es la función que mueve todo tres unidades hacia la derecha, y el elemento -2 es la función que mueve todo dos unidades hacia la izquierda; componer estos nos da la función que mueve todo una unidad hacia la derecha, que es el elemento 1.

Reid Atcheson

Uno de los mayores obstáculos es aprender a ser riguroso. En las clases de matemática de nivel inferior, puede salirse con la suya ignorando los detalles, pero en análisis real / álgebra abstracta / topología de introducción, se espera que marque todas sus i y cruce todas sus t. Para algunos estudiantes, este es un salto difícil.

Reid Atcheson

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