¿Qué sabemos acerca de las cardinalidades mayores que [matemáticas] 2 ^ {\ aleph_ {0}} [/ matemáticas]?

Tomar el conjunto de poder de un conjunto siempre produce una mayor cardinalidad. El conjunto de potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto. El conjunto de potencia de un conjunto contable como los enteros tiene la misma cardinalidad que el conjunto de números reales, y el conjunto de potencia de los números reales tiene mayor cardinalidad que los números reales. Tomar el conjunto de potencia es el origen de la notación [matemática] 2 ^ {\ aleph_0} [/ matemática] porque el conjunto de potencia de cualquier conjunto finito de cardinalidad n es de cardinalidad [matemática] 2 ^ n. [/ Matemática]

Sin embargo, incluso si supone que CH es verdadero, no necesariamente puede concluir que el conjunto de poder de los reales es de cardinalidad [math] \ aleph_2 = 2 ^ {\ aleph_1}. [/ Math] Para eso, necesita el Hipótesis de Continuo Generalizado (GCH), que dice que tomar el conjunto de potencia de un conjunto infinito siempre te da la siguiente cardinalidad infinita, o [matemática] 2 ^ {\ aleph_n} = \ aleph_ {n + 1}. [/ Matemática] Nota que GCH implica CH, pero la implicación no es al revés. Curiosamente, si bien CH y GCH son independientes de la teoría de conjuntos ZFC, la teoría de conjuntos ZF más GCH implica el axioma de elección, por lo que no existe una extensión de la teoría de conjuntos ZF en la que se mantenga GCH, pero el axioma de elección falla.

Es difícil encontrar una buena analogía geométrica para el conjunto de potencia de los reales, ¡pero podemos intentarlo! La respuesta de Peter Webb en realidad me dio una idea. Supongamos que tiene la recta numérica real. En cada punto de esa línea, dibuja una flecha que apunte hacia arriba o una flecha que apunte hacia abajo. Entonces [math] 2 ^ {\ aleph_1} [/ math] representa el número de diferentes combinaciones de flechas arriba / abajo que podrías dibujar. Esencialmente, lo que estamos haciendo es definir una función en los números reales y enviar algunos elementos a 1 (flecha hacia arriba) y algunos elementos a 0 (flecha hacia abajo). El número de funciones posibles de [math] \ mathbb {R} \ rightarrow \ {0,1 \} [/ math] es igual a la cardinalidad del conjunto de potencias de los reales.

Primero, para ser claros, [math] \ aleph_0 [/ math] no representa ninguna “longitud”. El término “longitud” tiene varios significados específicos en matemáticas, pero ninguno de ellos asigna el valor [math] \ aleph_0 [/ math] a ninguna línea, con o sin puntos finales.

[math] \ aleph_0 [/ math] es la cardinalidad del conjunto de números naturales.

[matemáticas] 2 ^ {\ aleph_0} [/ matemáticas] es la cardinalidad del conjunto de conjuntos de números naturales, y también la cardinalidad del conjunto de números reales.

[matemáticas] 2 ^ {2 ^ {\ aleph_0}} [/ matemáticas] es la cardinalidad del conjunto de conjuntos de conjuntos de números naturales, y también la cardinalidad del conjunto de conjuntos de números reales. Algunas colecciones más pequeñas de conjuntos de números reales tienen esta cardinalidad; por ejemplo, el conjunto de conjuntos abiertos en la topología habitual de [math] \ mathbb {R} [/ math].

[matemáticas] 2 ^ {2 ^ {2 ^ {\ aleph_0}}} [/ matemáticas] es la cardinalidad del conjunto de conjuntos de conjuntos de conjuntos de números naturales, como probablemente ya haya adivinado. También es la cardinalidad del conjunto de conjuntos de conjuntos de números reales, y algunas colecciones más pequeñas, como el conjunto de todas las topologías posibles en [math] \ mathbb {R} [/ math].

Y así.

Más allá de esas iteraciones algo aburridas, hay cardinalidades que son mucho, mucho más grandes que estas, y requieren supuestos lógicos especiales para postular su existencia. Son genéricamente conocidos como cardenales grandes y son bastante impresionantes, pero requieren algunos antecedentes en lógica y teoría de conjuntos para definirse incluso correctamente.

Dados estos supuestos (incluido el GCH), el número de funciones f que mapean R a R tiene esta cardinalidad. De hecho, el número de funciones que asignan R a {0,1} también funcionaría. Hay aleph 1 puntos en R, y cada uno se puede asignar a uno de los dos puntos, por lo que el número de estos es 2 elevado a la potencia de Aleph 1.

Más simplemente, el número de subconjuntos de R también tiene esta cardinalidad.