Álgebra abstracta: ¿Cuál es el significado del teorema de Jordan-Holder?

La respuesta de Chris Nash es genial. Los teoremas de tipo Jordan-Hölder (incluido el original para grupos, así como los teoremas análogos en otras categorías) nos dicen que los constituyentes atómicos de los objetos, junto con sus multiplicidades, están determinados de manera única. Al igual que los factores primos de los números naturales, el orden no importa, pero sí la multiplicidad. Los “componentes atómicos” de los grupos finitos son subgrupos simples. En general, estos componentes son objetos simples en categorías. Aquí, un objeto es simple si no tiene subobjetos adecuados; Por ejemplo, en la categoría de representaciones de un álgebra de Lie, una representación es simple si y solo si es irreducible.

En categorías semisimple, como la categoría de espacios vectoriales sobre cualquier campo o la categoría de representaciones de un grupo finito sobre [math] \ mathbb {C} [/ math], la lista de simples (junto con multiplicidades) que ocurren en una composición La serie es suficiente para reconstruir el objeto. Esto se debe a que la definición de una categoría semisimple es que todos los subobjetos simples son sumandos. Sin embargo, en categorías más complicadas, hay una complejidad adicional: los mismos subquotientes simples pueden ensamblarse de diferentes maneras, produciendo resultados no isomórficos.

Aquí hay un ejemplo fácil. Deje [math] A = \ Bbbk [x] / (x ^ 2) [/ math] para un campo [math] \ Bbbk [/ math]. Hay un módulo simple único para este álgebra, a saber, el campo de tierra [matemática] \ Bbbk [/ matemática] con [matemática] x [/ matemática] actuando como [matemática] 0 [/ matemática]. Aquí hay dos módulos no isomórficos [matemáticos] A [/ matemáticos] con series de composición equivalentes:

1. [matemática] \ Bbbk \ oplus \ Bbbk [/ matemática] (es decir, [matemática] x [/ matemática] actúa como [matemática] 0 [/ matemática] en ambos sumandos)
2. la representación regular, [matemáticas] A [/ matemáticas] en sí

Prueba rápida de que no son isomórficos: [matemática] x [/ matemática] actúa como [matemática] 0 [/ matemática] en una pero no en la otra. Prueba rápida de que tienen la misma serie de composición: [math] \ Bbbk [/ math] es el único simple, por lo que solo podemos contar las dimensiones.

De acuerdo, la última prueba fue un poco barata, ya que no te dije por qué solo hay una simple (ejercicio: ¡compruébalo tú mismo!). Así que aquí hay una prueba más constructiva . Claramente, [math] \ Bbbk \ oplus \ Bbbk [/ math] tiene [math] \ Bbbk [/ math] tiene una serie de composición con [math] \ Bbbk [/ math] ocurriendo dos veces. Aquí hay una serie de composiciones para la representación regular:

[matemática] 0 \ subconjunto Ax \ subconjunto A [/ matemática].

El ideal izquierdo generado por [math] A [/ math] es un submódulo isomorfo a [math] \ Bbbk [/ math] (ya que [math] x \ cdot x = x ^ 2 = 0 [/ math]). Y el cociente [matemática] A / Ax [/ matemática] también es isomorfo a [matemática] \ Bbbk [/ matemática].

Por lo tanto, los dos módulos tienen el mismo conjunto de subquotientes y multiplicidades. Este es un ejemplo de cómo el teorema de Jordan-Hölder le brinda información útil, pero no suficiente información para reconstruir objetos en categorías no simples.