Esta no es una identidad correcta, pero intentaré demostrar una identidad similar:
Int {a, b} f (x) dx + Int {f (a), f (b)} f ^ -1 (x) dx = bf (b) -af (a)
Considere y = f (x). Esto significa que f ^ -1 (y) = x.
- De 200 peces en un acuario, el 99% son rojos. ¿Cuántos peces rojos deben eliminarse para reducir al 98%?
- ¿Cuál tiene la mayor cantidad de átomos, 1.6 g de CH4, 1.7 g de NH3 o 1.8 g de H2O?
- Cómo crear un signo más / menos en Word
- Matemática Aplicada: ¿Cuál es el uso de log10?
- Cómo convertir la forma estándar en forma fraccional
La integración en el lado izquierdo es la misma que:
(1) Int {0, b} f (x) dx + (2) Int {0, f (b)} f ^ -1 (x) dx – (3) Int {0, a} f (x) + (4) Int {0, f (a)} f ^ -1 (x) dx
[Estoy usando números entre corchetes para poder referirme a ellos más adelante como integral 1, integral 2, etc.]
Esto significa que si podemos evaluar las integrales 1 y 2, podemos evaluar las integrales 3 y 4 usando el mismo método.
También Int f ^ -1 (x) dx es lo mismo que Int f ^ -1 (y) dy.
Entonces las integrales 1 y 2 son ahora:
Int {0, b} f (x) dx + Int {0, f (b)} f ^ -1 (y) dy
La integral 1, gráficamente, es el área entre una curva, el eje x, x = 0 yx = b. La integral 2, es el área entre la curva, el eje y, y = 0 e y = f (b). Las líneas x = b y y = f (b) se cruzan con la curva en el mismo punto (b, f (b)).
Por lo tanto, el área dada por las integrales 1 y 2 es un ancho de rectángulo de b y una altura de f (b), por lo que es bf (b).
Por el mismo razonamiento, el área dada por las integrales 3 y 4 es igual a af (a).
Así tenemos nuestra identidad.
La identidad dada por la pregunta solo se cumple si f (x) = x. Cualquier otra función actúa como un contraejemplo a esto.
