Cómo calcular [matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} [/ matemáticas] sin usar una calculadora

TL; DR

Obtuve una precisión de 5 decimales, al evaluar la serie Maclaurin de sexto orden de [math] f (x) = (x + 1) ^ {(x + 1)} [/ math] en [math] x = \ sqrt { 2} -1 [/ matemáticas]

La serie Maclaurin de [matemáticas] f (x) = (x + 1) ^ {(x + 1)} [/ matemáticas], viene dada por:

[matemáticas] f (x) = 1 + x + x ^ 2 + \ frac {x ^ 3} {2} + \ frac {x ^ 4} {3} + \ frac {x ^ 5} {12} + \ frac {3x ^ 6} {40} + \ mathcal {O} (x ^ 7) [/ math]

que puede derivarse del uso de la derivada [math] n ^ {\ text {th}} [/ math] de [math] x ^ x [/ math] en [math] x = 1 [/ math], una secuencia conocida como los ‘números de Lehmer-Comtet’: A005727 – OEIS

Evaluar esto en [math] x = \ sqrt {2} -1 [/ math], debería dar una buena aproximación:

[matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} \ aprox 1 + (\ sqrt {2} -1) + (\ sqrt {2} -1) ^ 2 + \ frac {(\ sqrt {2 } -1) ^ 3} {2} + \ frac {(\ sqrt {2} -1) ^ 4} {3} + \ frac {(\ sqrt {2} -1) ^ 5} {12} + \ frac {3 (\ sqrt {2} -1) ^ 6} {40} [/ math]

Esto parece sucio, pero en la expansión binomial, esto se simplifica a:

[matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} \ aprox \ frac {367} {40} – \ frac {16} {3} \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Sabiendo que [math] \ sqrt {2} = 1.414214 … [/ math] obtenemos:

[matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} \ aprox \ frac {367} {40} – \ frac {16} {3} \ veces 1.414214… \ aprox 1.632528 .. [/ matemática]

Lo cual es exacto hasta 5 decimales, porque [matemática] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} = \ color {azul} {1.63252} \ color {gris} {6919…} [/ matemática]

Si bien la respuesta de Job Bouwman es inteligente y precisa, requiere una cantidad razonable de cálculo y no se extiende o escala fácilmente a variaciones de la misma pregunta. Aquí hay un enfoque alternativo que, aunque un poco menos preciso, podría, con un poco de práctica, llevarse a cabo en su cabeza.

Paso 1. Estima la raíz cuadrada de 2, como se describe en la respuesta de Uri Granta a ¿Cuál es la forma más rápida de calcular la raíz cuadrada de “0.3” sin usar una calculadora? Esto proporciona [math] \ sqrt {2} \ aprox 1.4142. [/ Math]

Paso 2. Estime la respuesta usando registros, usando el método descrito en la respuesta de Uri Granta a ¿Cómo resuelvo preguntas como [math] 3 ^ {0.2} [/ math] (solo un ejemplo) manualmente sin usar la tabla de registro y la calculadora científica ?. Esto requiere memorizar cuatro valores de registro (log (2), log (3), log (1.1) y log (1.01)) y aplicar las leyes de registro apropiadas.

[matemáticas] \ begin {array} {rl} \ log (\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}}) \! \! \! \! & = \ sqrt {2} \ log (\ sqrt {2}) = \ sqrt {2} \ times \ frac {1} {2} \ log (2) \\ & \ approx 1.414 \ times 0.1505 \ approx 0.2128 \ \ & = 4 \ times 0.301 – 1 + 0.0088 \ approx 4 \ log (2) – 1 + 2 \ log (1.01) \\ & \ approx \ log (1.6 \ times 1.02) = \ log (\ mathbf {1.632} ) \ end {array} [/ math]

Solución:

Deje que [matemáticas] x = {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

Aplicando logaritmo natural en ambos lados,

[matemáticas] \ ln {x} = \ ln {{\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}}} [/ matemáticas]

Usando la propiedad logaritmo,

[matemáticas] \ ln {x} = \ sqrt {2} \ ln {\ sqrt {2}} \\ \ ln {x} = \ sqrt {2} \ ln {{2} ^ {\ cfrac {1} { 2}}} \\ \ ln {x} = \ cfrac {1} {2} \ times \ sqrt {2} \ ln {{2}} [/ math]

Como [math] \ sqrt {2} = 1.41 [/ math] y [math] \ ln {{2}} = 0.69 [/ math] es bastante conocido,

[matemáticas] \ ln {x} = \ cfrac {1} {2} \ veces 1.41 \ veces 0.693 [/ matemáticas]

Esto se puede aproximar a:

[matemáticas] \ ln {x} = \ cfrac {1.4} {2} \ veces 0.7 \\ \ ln {x} = 0.49 \ aproximadamente 0.5 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] x = {e} ^ {0.5} [/ matemáticas]

Usando la serie Taylor aquí,

[matemáticas] x = 1 + \ cfrac {0.5} {1! } + \ cfrac {{0.5} ^ {2}} {2! } +… \\ x = 1 + 0.5 + 0.125 \\ x = 1.625 \\ x \ aprox 1.63 [/ matemáticas]

Entonces, el valor puede ser aproximado a 1.63. El valor real 1.632 también concuerda con este valor aproximado.

Sabemos que [math] \ sqrt {2} \ aprox 1.414 [/ math]. Y necesitamos encontrar [math] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} = 1.414 ^ {1.414} [/ math].

[matemáticas] 1.414 ^ {1.414} = (1 + 0.414) ^ {1.414} [/ matemáticas]

Sabemos que [matemáticas] \ displaystyle (1 + x) ^ {n} = 1 + nx + \ frac {n (n-1)} {2!} X ^ {2} + \ frac {n (n-1) (n-2)} {3!} x ^ {3} + \ ldots [/ math] donde [math] | x | <1 [/ math].

Al aplicarlo y omitir [matemáticas] x ^ {4} [/ matemáticas] y poderes superiores, obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle (1 + 0.414) ^ {1.414} = 1 + 1.414 \ veces 0.414+ \ frac {1.414 (1.414-1)} {2!} \ times 0.414 ^ {2} + \ frac {1.414 (1.414 -1) (1.414-2)} {3!} \ Veces 0.414 ^ {3} = 1.63150 [/ matemáticas]

que es correcto hasta dos decimales como al usar la calculadora obtenemos [math] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} = 1.63252 [/ math].

Deje sqrt2 ^ sqrt2 = x

sqrt2 ^ sqrt2 se puede escribir como 2 ^ (0.5 * 1.41) (desde, sqrt2 = 1.41)

2 ^ 0.7 = 2 ^ (7/10)

Entonces 2 ^ (7/10) = x

Tomando logaritmos en ambos lados obtenemos:

7/10 log2 = log x

Entonces, 7log2 = 10logx

7 * 0.3010 = 10 logx

Logx = 0.2107

Usando antilogaritmos,

X = antilog (0.2107) = 1.624

No es preciso, pero fácil y aproximado 🙂

Estoy en un viaje de descubrimiento para ver cuántas de estas preguntas de Quora relacionadas con aproximaciones sin una calculadora se pueden hacer con aritmética simple combinada con el conocimiento de algunas potencias de unos pocos enteros pequeños y la siguiente aproximación (utilizada repetidamente) como la aproximación única herramienta:

[matemáticas] (1 + x) ^ a \ aprox 1 + ax [/ matemáticas] para [matemáticas] | ax | \ ll 1 [/ matemáticas]

Comenzamos de la siguiente manera:

[matemáticas] \ sqrt 2 \ aprox 1.414 \ aprox \ frac {14+ \ frac 17} {10} [/ matemáticas]

Entonces necesitamos encontrar:

[matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ frac {14} {10}} = \ sqrt [10] {2 ^ 7} = \ sqrt [10] {128} [/ matemáticas]

Luego podemos multiplicar este término por el término adicional [math] \ sqrt [70] {\ sqrt {2}} [/ math] para obtener nuestra respuesta final. Podemos aproximar fácilmente este término adicional utilizando nuestra única herramienta porque el poder es muy pequeño.

[matemáticas] \ sqrt [70] {\ sqrt {2}} \ aprox (1 + 0.414) ^ {\ frac 1 {70}} \ aprox 1+ \ frac {0.414} {70} = 1 + \ frac {\ frac 17 \ cdot 4.14} {100} \ aprox 1 + 10 ^ {- 2} \ cdot 0.59 = 1.0059 [/ math]

Entonces necesitamos encontrar el término más difícil que multiplica este factor de corrección. Primero lo dividimos en dos raíces para facilitar la aproximación:

[matemáticas] \ sqrt [10] {128} = \ left (128 ^ {\ frac 12} \ right) ^ {\ frac 15} [/ math]

A continuación, factorizamos el cuadrado perfecto más cercano a 128:

[matemática] \ sqrt [10] {128} = \ left ((121 + 7) ^ {\ frac 12} \ right) ^ {\ frac 15} [/ math]

[matemáticas] \ sqrt [10] {128} = \ left (11 (1+ \ frac {7} {121}) ^ {\ frac 12} \ right) ^ {\ frac 15} [/ math]

Ahora usamos nuestra herramienta nuevamente:

[matemática] \ sqrt [10] {128} \ aprox \ izquierda (11 (1+ \ frac {7} {242}) \ derecha) ^ {\ frac 15} [/ matemática]

[matemáticas] \ sqrt [10] {128} \ aprox \ left (11+ \ frac {77} {242} \ right) ^ {\ frac 15} [/ math]

Ahora la fracción restante es un poco menos de un tercio, así que redondearé a 0.3:

[matemáticas] \ sqrt [10] {128} \ aprox \ left (11.3 \ right) ^ {\ frac 15} [/ math]

Ahora, necesitamos encontrar un número cuya quinta potencia esté cerca de 11.3. Dos es demasiado grande y 1 es demasiado pequeño. Me gusta trabajar con potencias de 2 y potencias de 10, así que intentaré ver si 1.6 puede funcionar. (1.5 tampoco es malo para usar).

[matemáticas] 1.6 ^ 5 = \ frac {16 ^ 5} {10 ^ 5} = 2 ^ {20} \ veces 10 ^ {- 5} = 1.024 ^ 2 \ veces 10 ^ 1 [/ matemáticas]

Podemos usar nuestra herramienta de aproximación una vez más:

[matemáticas] 1.6 ^ 5 = (1 + 0.024) ^ 2 \ cdot 10 \ aprox 1.048 \ cdot 10 = 10.48 [/ matemáticas]

Esta respuesta está lo suficientemente cerca de 11.3 como para poder trabajar con ella. Factorizamos este término para obtener:

[matemáticas] \ sqrt [10] {128} \ aprox \ left (10.48 \ cdot \ frac {11.3} {10.48} \ right) ^ {\ frac 15} [/ math]

[matemáticas] \ sqrt [10] {128} \ aproximadamente 1.6 \ izquierda (\ frac {11.3} {10.48} \ derecha) ^ {\ frac 15} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt [10] {128} \ aprox1.6 \ izquierda (1+ \ frac {82} {1048} \ derecha) ^ {\ frac 15} [/ matemáticas]

Podemos usar nuestra herramienta de aproximación una vez más:

[matemática] \ sqrt [10] {128} \ aprox1.6 \ izquierda (1+ \ frac {16.4} {1048} \ derecha) [/ matemática]

[matemáticas] \ sqrt [10] {128} \ aprox1.6 \ left (1.016 \ right) = 1.6 + 16 ^ 2 \ cdot 10 ^ {- 4} = 1.6 + (256) \ cdot 10 ^ {- 4} = 1.6 + 0.0256 = 1.6256 [/ matemáticas]

Entonces la aproximación final es

[matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt 2} \ aprox 1.6256 \ cdot 1.0059 [/ matemáticas]

Ahora el 0.6% de 1.6256 es aproximadamente .01, así que finalmente obtenemos:

[matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt 2} \ aprox 1.6356 [/ matemáticas]

La respuesta correcta es aproximadamente 1.6325, por lo que el error relativo en esta aproximación resulta ser apenas inferior al 0.2%. Eso no está mal teniendo en cuenta que solo utilizamos una herramienta de aproximación en todo el enfoque.

Muy simple, en Casio fx-82MS- presione el botón Root> 2> Presione el botón ^ (hacia la alimentación)> Botón Root> 2> Botón Ans.

En Casio fx-991ES, presione el botón Root> 2> presione el joystick hacia la derecha> presione el botón x [] (hacia la alimentación)> el botón Root> 2> el botón Ans.

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