¿Cuál podría haber sido la intuición detrás del problema de Monty Hall? ¿Cómo se prueban los resultados?

Tengo una intuición Descubrí empíricamente que es imposible explicarlo, así que en su lugar voy a describir cómo ganar bebidas gratis en conferencias escépticas.

Como señaló Joshua Engel, las matemáticas son bastante triviales, una vez que se llega a las matemáticas. Cuando este problema apareció en las páginas de Skeptical Inquirer hace un par de décadas, hubo una tormenta de fuego. Hubo algunos defensores de la respuesta 50/50, gran parte de la respuesta 2/3, pero solo una carta al editor que describía mi intuición, que todos ignoraron. Obtener la respuesta “correcta”, la 2/3, se ha convertido en una condición sine qua non presumida y presumida de ser un Real Skeptic ™. Me decepcionó, porque corta el corazón del escepticismo. Traté de explicar esto y fallé, así que se me ocurrió esta manera de ganar bebidas gratis, que estoy describiendo cómo hacerlo.

Como Peter Sellers dijo en The Magic Christian (1969), uno debe castigar. Sin embargo, no se debe castigar a las personas equivocadas. En general, me gusta alentar a las personas a decidir si merecen o no un castigo. (Estoy haciendo esto en un sentido meta aquí; imagino que cualquiera que esté dispuesto a navegar mi extravagante circunlocución merece una bebida gratis o tres).

Tienes que encontrar una marca candidata. No alguien que es simplemente arrogante sobre su inteligencia; Esto está bien, siempre y cuando compartan y escuchen a la gente. No, necesitas un verdadero idiota. Un soberbio pomposo y pontificante, el tipo de persona arrogante que desprecia a los demás y nunca piensa en lo que dicen. También ayuda si no te conocen en absoluto.

Afortunadamente, hay un suministro ilimitado de tales personas en cualquier conferencia escéptica. Se pueden identificar fácilmente. A menudo son compradores, presidentes de capítulos de algo u otro que han viajado para dar su discurso sin ningún deseo de escuchar a nadie más. Debería poder encontrar tres o cuatro, lo cual es bueno, porque el alfa schmuck se identificará espontáneamente.

También necesitas un grupo de amigos que te conozcan por la presión de grupo y, por supuesto, una mesa en un bar, porque ¿dónde más vas a tomar bebidas?

Entonces tienes tu potencial idiota o idiotas. Trae el problema de Monty Hall. No tiene que decir mucho al respecto, solo diga que es escéptico de que la respuesta 2/3 sea correcta. (Lo cual será cierto, ya que les mostrarás una mejor).

Esta es su primera oportunidad justa. Si son víctimas dignas, saltarán sobre la situación y comenzarán a tratarte como si fueras un gusano, te dejarán la conferencia en el trasero y te mostrarán quién es el jefe. Si alguien no hiciera esto, me reiría y les compraría una bebida por ser un buen deporte y les diría lo que les estoy diciendo. Eso nunca ha sucedido, de nuevo. Lo repetiré varias veces, pero ninguno de ellos ha sucedido; ninguna marca ha demostrado alguna vez no ser idiota.

Después de ir y venir un poco, durante el cual probablemente se volverán más arrogantes, ofrécete a probarlo. Ofrezca jugar el juego con ellos diez veces, con usted como Monty Hall y con ellos como concursante. Tal vez si ganan cinco de cada diez, o seis, les comprarás una bebida, y si no, tienen que comprarte una. En realidad, por supuesto, no podrán ganar ni una sola ronda, pero no tienes que decirles eso.

Luego, haga que acepten una declaración del problema. El original Marilyn dos Savant es bueno, pero no lo recuerdo. La declaración de Joshua es igual de buena.

Suponga que está en un programa de juegos y le dan la opción de tres puertas: detrás de una puerta hay un automóvil; detrás de los demás, cabras. Usted elige una puerta, dice No. 1, y el anfitrión, que sabe lo que hay detrás de las puertas , abre otra puerta, dice No. 3, que tiene una cabra. Luego te dice: “¿Quieres elegir la puerta número 2?” ¿Le conviene cambiar su elección?

Déjelos revisar si quieren. Esa es otra oportunidad. Nunca me ha pasado que una marca haya visto el problema. Como siempre, si lo hicieran, les compraría una bebida por ser un buen deporte. (Voy a dejar de escribir que nunca sucedió. Solo asuma cuando mencione que tienen una oportunidad, que lo mejor que puede hacer es comprarles una bebida y que eso nunca sucedió).

Haz que estén de acuerdo e inícielo. Soportarán esto si son un idiota porque, después de todo, eres el niño en su mente, el estúpido que debe ser soportado y les dará estatus social. Esa es otra oportunidad.

Luego pídales que acepten que siempre cambiarán si les da la oportunidad. Esa es otra oportunidad. Los no idiotas deberían descubrir en este punto lo que vas a hacer. Los idiotas nunca lo hacen. Asegúrate de que tus amigos sean testigos de la inicialización.

Luego configura el juego. Por lo general, tengo un montón de tarjetas de visita inútiles. Doblo tres por la mitad en ángulo recto y escribo 1, 2 y 3 en ellos. Luego puse un cuarto (para el auto) y dos centavos (para las cabras) y los puse en las partes inferiores de las L para que puedan ver el 1, 2 y 3 pero no las monedas, que estarán de su lado .

Pídales que elijan uno.

1. Si eligen el que tiene el cuarto (auto), deles la oportunidad de cambiar. Han acordado siempre cambiar, por lo que elegirán una cabra.
2. Si escogen una cabra, diga: “¡Felicidades, usted ganó una cabra!”

Por lo general, descubrirán que se han tenido. Solo una vez tiene una marca que no, y eso proporciona un castigo de idiota aún mejor, porque dije: “Está bien, te lo haré más fácil” y organízalo para que puedan ver las monedas. Esto solo sucedió una vez, pero fue cereza.

Una vez que lo descubran, es otra oportunidad. Si se ríen y dicen “touché” o algo así, cómpreles una bebida. (Creo que ya dije que esto nunca ha sucedido).

Siempre, farfullarán y dirán que has hecho trampa o algo así. En este punto, profundizo mi voz y digo algo como: “¿Dónde está escrito, en esta declaración del problema que acordó e inició, que estoy obligado a darle una opción? ¿Dónde está mi bebida?” Apelo a mis amigos.

Aproximadamente la mitad del tiempo, me compran una bebida, lo cual es bueno. ¡Hola, bebida gratis! Aproximadamente la mitad del tiempo, salen disparados, y eso es aún mejor. Me río, sacudo la cabeza y digo: “¡Chico, qué idiota! ¿Y son presidente de whojimongle?” Se corre la voz.

Ahora, no considero esto viscoso y creo que es algo perfectamente legítimo e incluso bueno, por las siguientes razones:

1. Existe una larga tradición de magos y engañadores de confianza, como James Randi y Penn & Teller, que utilizan sus habilidades para impartir lecciones importantes.
2. Son, en todo caso, mucho más viscosas. Por ejemplo, James Randi dijo que lleva un cuarto de dos cabezas y voltea a las personas por cosas. Si adivinan mal, él recoge, y si adivinan bien, dice: “Solo quería ver si eras un buen deporte”.
3. Incluso el propio Monty Hall está de acuerdo conmigo. Desafortunadamente, el enlace a la historia del New York Times en el que había confiado durante años desapareció hace unos cinco años, pero realmente lo dijo. (No me mencionó, ya que no sabe quién soy, pero dijo lo mismo).
4. Al recuperarme de la pancreatitis, vi diez episodios consecutivos de Let’s Make a Deal en algún canal de cable. Aunque había muchas ofertas para cambiar, ninguna se parecía ni remotamente al llamado problema de Monty Hall.
5. Las personas, probablemente incontables millones, murieron prematuramente debido a la misma clase de suposiciones que estos “escépticos” están haciendo y están tan impresionados consigo mismos. Si el escepticismo se trata de algo, tiene que ser sobre esto, y si no lo es, no es nada.

Imagine que hay un millón de puertas, 999 999 cabras y un automóvil. El host ahora abrirá 999 998 puertas “al azar” y luego le preguntará si desea cambiar.

Al final de toda esta tontería, solo quedan dos puertas: una que elegiste al azar al comienzo y otra que el anfitrión nunca eligió a pesar de tener 999 998 oportunidades para hacerlo. Personalmente, estaría bastante curioso sobre el que no eligió …

El problema solo tiene una respuesta en su forma canónica. En el problema canónico asumimos:

1. El automóvil tiene las mismas posibilidades de estar detrás de cualquier puerta (o no tiene información que le indique qué puerta está más a menudo detrás).
2. Monty solo revelará una puerta que no has elegido, y una puerta sin coche.
3. Monty siempre te dará la opción de cambiar.
4. Monty elegirá una puerta aleatoria si se le da la opción (si eligió el automóvil).

A menudo, la pregunta no está bien redactada, y muchas de las suposiciones quedan para que el lector las dé por sentadas. (Por lo general, soy culpable de esto). Este fue en realidad el caso de su publicación inicial en Parade.

Lo que agregaré a las otras respuestas es que hay variaciones menos populares del problema de Monty Hall que tienen diferentes soluciones al aflojar los supuestos establecidos. Sugiero leer la sección Crítica de soluciones simples y variantes del problema de Monty Hall.

Intuitivamente? ¡Con una máquina reversible!

¿Qué es una máquina reversible? Es una máquina que puedes colocar sobre cualquier juego, y todo lo que hace es voltear el resultado: ganas el juego sin modificar si y solo si pierdes el juego reversified (TM), y pierdes el juego sin modificar si y solo si ganas el juego revertido. Tome eso como la definición de una máquina reversible.

Bien, vamos a calentarnos:

Supongamos que lanzamos un solo dado de seis caras. Propongo un juego: si sacas un 6, ganas. Si sacas algo excepto un 6, pierdes.

¿Probabilidad de ganar? 1/6. ¿Probabilidad de perder? 5/6.

¿Qué pasa si lo revirtí? ¿Probabilidad de ganar el juego revertido? Lo has adivinado, 5/6.

Todo esto es extremadamente fácil de entender (con suerte), sin una sensación de controversia en el horizonte.

La clave para darse cuenta es que, después de abrir la puerta en el problema de Monty Hall, cambiar es equivalente a aplicar una máquina reversible al juego original , mientras que no cambiar es equivalente a no hacer nada.

Supongamos que tu amigo entra al juego después de que hayas elegido una puerta y Monty haya revelado una cabra, pero no sabe el razonamiento que usó Monty.

Ve dos puertas y le dicen que elija una: ¡tiene una probabilidad de 50-50! No sabe por qué una puerta u otra deberían ser mejores (pero tú sí). La principal confusión es que creemos que somos como nuestro amigo: olvidamos (o no nos damos cuenta) del impacto del filtrado de Monty.

La información adicional hace toda la diferencia. Después de que hayas elegido la puerta, el problema de Monty Hall te engaña para que elijas una probabilidad de 1/3 (quedando con la opción original) o te ayuda si eliges una probabilidad de 2/3 (cambiando).

La mayoría de las personas deciden que la probabilidad es de 1/2 para ambas puertas es porque eligen ignorar la información adicional pero luego, sin saberlo, usan la información para elegir la respuesta. Es decir, pueden quedarse con su elección anterior o cambiar de su elección anterior. Al recordar qué puerta fue nuestra elección anterior, estamos utilizando la información adicional proporcionada por Monty. Ahora, si eliges lanzar una moneda para decidir si te quedas o cambias, ¡eliges una probabilidad de 1/2 (ya que 1/2 * 1/3 + 1/2 * 2/3 = 1/2)! Así es como puede evitar la disparidad de información.

Mi respuesta original, que guardé a continuación, abordaba una pregunta diferente: “¿El problema de Monty Hall tiene necesariamente una sola respuesta correcta?” No es exactamente lo mismo que la pregunta con la que se fusionó: “¿Cuál podría haber sido la intuición detrás del problema de Monty Hall? ¿Cómo se prueban los resultados?” Y creo que la diferencia es significativa.

Muy pocas personas entienden el verdadero punto intuitivo de Monty Hall. El punto intuitivo es que la forma en que se hace una elección en un problema de probabilidad puede ser tan importante o más importante que esa elección . Esto fue ilustrado por primera vez por Joseph Bertrand en 1889, en lo que ahora se llama la paradoja de la caja de Bertrand. Puedes leer sobre esto en otro lado; Voy a usar un ejemplo modificado.

Digamos que volteo dos monedas detrás de una pantalla, para que pueda ver los resultados y usted no. ¿Cuáles son las posibilidades de los dobles? es decir, ¿dos cabezas o dos colas? Se supone que esto es fácil: la respuesta es 1/2. Hay cuatro posibilidades, {HH, HT, TH, TT}, y la mitad de ellas son dobles.

Digamos que me pides que te diga el resultado de cualquiera de las monedas, pero no de ambas, y yo te digo que al menos una moneda aterrizó. Es tentador decir que las posibilidades de que ambos sean Jefes ahora son 1/3, ya que solo una de las tres posibilidades restantes, {HH, HT, TH}, es Dobles.

La mayoría de los maestros y libros de texto dirán que la respuesta es 1/3, y están equivocados. De hecho, esta pregunta es idéntica a muchas formas del famoso Problema de dos niños, donde generalmente se da 1/3 como respuesta. Al igual que Michal Forišek en sus comentarios a mi respuesta original, incluso discutirán rotundamente conmigo que 1/3 debe ser correcto.

Para ver que están equivocados, tenga en cuenta que, sea cual sea la respuesta, tendría que haber sido la misma si hubiera dicho que al menos una moneda aterrizó Tails. Dado que “una cara” y “una cola” eran mis dos únicas respuestas posibles, si esa respuesta no es 1/2, entonces el simple hecho de que me hagas la pregunta cambia la respuesta. La paradoja que Bertrand identificó es ese cambio aparente.

El punto de Bertrand fue el punto intuitivo sobre el que se preguntó en esta pregunta: que es incorrecto contar simplemente los casos que podrían producir la información que usted tiene. Debe considerar solo los casos que lo harían, cuando se tiene en cuenta la probabilidad, incluso si eso descarta algunos que podrían hacerlo . En el experimento con monedas, no tengo otra opción sobre qué decirte si el resultado es HH o TT, pero sí tengo una opción si el resultado es HT o TH. Si no sabe cómo elegiría entre “una cara” y “una cola” en esos casos, solo puede suponer que elegiría al azar; es decir, la mitad del tiempo diciendo “una cara” y la otra mitad diciendo “una cola”.

Y esto proporciona la prueba matemática de mi respuesta. En lugar de contar los casos, debe sumar las probabilidades de recibir la información que tiene en los mismos casos. Entonces la respuesta no es (1 caso) / (3 casos) = 1/3. Si “H1” representa el evento en el que le digo que hay una Cabeza, la probabilidad de dos Cabezas dado que digo que una es Cabeza, se encuentra fácilmente por la definición de probabilidad condicional:

P (HH | H1) = P (HH y H1) / P (H1)
= P (HH y H1) / [P (HH y H1) + P (HT y H1) + P (TH y H1) + P (TT y H1)]
= (1/4) / [(1/4) + (1/8) + (1/8) + (0)]
= 1/2.

Incluí el caso de probabilidad cero porque ayuda a ilustrar cómo es importante la probabilidad de recibir la información. El mismo enfoque y fórmula demuestran la respuesta al problema de Monty Hall.

Si bien puede parecer intrascendente, el hecho de que Monty Hall abrió la Puerta # 3 es información crítica. Las personas que piensan que cambiar no puede importar están contando todos los casos en que Monty Hall podría abrir la Puerta # 3; es decir, el 1/3 donde el auto está detrás de la Puerta # 1, y el 1/3 donde está detrás de la Puerta # 2. La respuesta correcta solo cuenta la mitad de los casos en los que el automóvil está detrás de la Puerta # 1, porque Monty Hall abriría la Puerta # 3 en solo la mitad de esos:

P (Auto = 2 | Abierto = 3) = P (Auto = 2 y Abierto = 3) / P (Abierto = 3)
= P (Car = 2 & Open = 3) / [P (Car = 1 & Open = 3) + P (Car = 2 & Open = 3) + P (Car = 3 & Open = 3)]
= (1/3) / [(1/6) + (1/3) + (0)]
= 2/3.

Mis respuestas a Michal Forišek esencialmente notan que si la probabilidad de abrir la Puerta # 3 cuando el automóvil está detrás de la Puerta # 1 es Q, esto es (1/3) / [(Q / 3) + (1/3) + (0 )] = 1 / (Q + 1).

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Respuesta original, a “¿El problema de Monty Hall tiene necesariamente una sola respuesta correcta?”

Si debe escribir un rompecabezas de probabilidad con suficientes detalles para que necesariamente tenga una sola respuesta correcta, se vuelve tedioso leerlo. Por ejemplo, compare:

1) ¿Cuál es la probabilidad de lanzar una moneda y sacar cara?
2) Digamos que tiene un disco de metal perfectamente equilibrado con bordes redondeados para que no pueda equilibrarse en un borde. Debido a que los grabados lo desequilibrarían, un lado está pintado con una capa de pintura roja perfectamente uniforme y designado como “Cabezas”. El otro está igualmente pintado de verde (“Tails”), con una pintura de la misma densidad y grosor. El disco se impulsa hacia el aire con un impacto descentrado hacia arriba cuyo componente vectorial en el plano del disco apunta hacia el centro del disco, con una fuerza aleatoria que es suficiente para hacer que gire muchas veces en el aire antes de aterrizar sobre una superficie semielástica perfectamente plana. Etc. (entiendes la idea). ¿Cuál es la probabilidad de que descanse con el rojo, o “Cabezas”, hacia arriba?

Si bien eso fue un poco extremo, el punto es que podemos, y hacemos, suposiciones razonables sobre los acertijos. Para que tal detalle, aunque sea necesario, pueda omitirse y asumirse, en base a la implicación de que se supone que un rompecabezas tiene una respuesta única. Y los hacemos incluso si no son realmente ciertos. Por ejemplo, si tal enigma involucra el género de los niños, se acostumbra suponer que la probabilidad de que un niño aleatorio sea un niño es del 50%, y no está correlacionada con el género de los hermanos. Tampoco es verdad.

En Monty Hall, no puede proporcionar una respuesta única si las probabilidades de que el automóvil esté detrás de una puerta es diferente a otra, o si el anfitrión juega a favoritos con qué puerta abrir. Por lo tanto, es habitual suponer que cada puerta tiene la misma probabilidad de tener el automóvil, y el anfitrión abre una puerta al azar si tiene una opción. Del mismo modo, no puede responder si se supone que las reglas permiten cualquier comportamiento del host que sea diferente de lo que se indicó, por lo que es habitual suponer que el host siempre revela una cabra y le permite cambiar.

¿Es necesario hacer estas suposiciones? No. Pero es costumbre. Y mi afirmación está respaldada por el hecho de que cualquiera que intente reformular el problema para incluir todos los detalles necesarios dirá que fueron intencionados. No podrían hacer tal afirmación si las suposiciones que sugiero no estuvieran implicadas por la pregunta más corta de alguna manera.

Entonces, sí, en mi opinión , el problema de Monty Hall tiene una respuesta única y correcta. Viene con la advertencia de que se supone que se aplican los detalles que otros han enumerado.

También señalaré que la gran mayoría de las personas que obtienen una respuesta diferente están haciendo la mayoría de los mismos supuestos. Pueden o no reconocer que los están haciendo. Pero ignoran por error que importa cómo el anfitrión elige una puerta, por lo que no hacen la suposición habitual allí.

Puede elegir entre dos tácticas, cambiar y no cambiar .

Las estrategias ganadoras para estas dos tácticas son:
– Si juegas la táctica sin interruptor , debes adivinar correctamente en la Ronda 1;
– Si juegas la táctica de cambio , debes adivinar mal en la Ronda 1 (para que puedas cambiar a la correcta en la Ronda 2).

Dado que adivinar mal en la Ronda 1 tiene una mayor probabilidad (2/3 frente a 1/3), debes jugar la táctica de cambio . La probabilidad resultante de ganar es 2/3.

PD: También me convencí escribiendo un programa de simulación por computadora, que dio 2/3 como resultado.

Cualquier formulación inequívoca del problema tiene una respuesta correcta. Los problemas con los que se encuentran las personas no están especificando completamente el problema o están equivocando algunos detalles y cambiando la respuesta de lo que pretenden.

Me resulta más fácil pensar en la puerta elegida y la puerta no elegida como conjuntos matemáticos.

El “set” del concursante incluye solo 1 puerta y, por lo tanto, su set tiene una probabilidad ⅓ de contener al ganador. El conjunto de Monty Hall incluye dos puertas, y tiene el doble de probabilidades de contener al ganador.

Además, podemos estar 100% seguros de que el conjunto de Monty contiene al menos un no ganador.

Entonces, digamos que eres el concursante. Eliges una puerta y Monty tiene dos. Ahora, si Monty dice: “Cambiaré mi juego de dos puertas por tu sola puerta”, ¿harías el intercambio? Por supuesto que sí, porque sabes que su set tiene el doble de probabilidades de contener al ganador.

Ahora, usted y Monty saben que su set contiene un perdedor. El hecho de que él pueda mostrarle al perdedor no proporciona ninguna información nueva. Después de todo, ya sabías que tenía al menos un perdedor.

Por lo tanto, intercambiar conjuntos siempre implica intercambiar un conjunto que tiene una probabilidad ⅓ de contener al ganador por un conjunto que tiene una probabilidad ⅔ de incluir al ganador.

El problema de Monty Hall es un problema contra intuitivo.
La razón por la que es contrario a la intuición es porque una vez que se abre una puerta, parece que este es un problema nuevo. Por lo tanto, fuera de dos puertas, la probabilidad de que una puerta sea del 50%. Sin embargo, en realidad, el premio ya se ha colocado antes de abrir las puertas, y este no es un problema nuevo.
Para ver un modelo de trabajo / representación del mismo, siga el siguiente enlace.
Monty Hall

En Monty Hall tienes 2 etapas.

1ra etapa:
¿Cuáles son las posibilidades de tener una puerta correcta, cuando tienes 3 puertas y 1 auto detrás de una puerta? 1/3 .

2da etapa:
El anfitrión SIEMPRE abre una puerta vacía, por lo tanto, no le está dando ninguna información adicional . Esto siempre sucederá, no importa si tiene la puerta correcta o la puerta incorrecta.

Como no obtuvo ninguna información, sus posibilidades siguen siendo de 1/3.

Pero sabes que el auto está en tu puerta o en la otra puerta, por lo que el complemento es 2/3 .

Todavía confunde ¿eh?

Piensa de esta manera. Tienes 1000 puertas y 1 auto.
Tú eliges una puerta.
El anfitrión abre la puerta 998, todo vacío ( él sabe que están vacíos ).
Ahora sabes que está entre tu puerta y la otra puerta.
¿Cambiarías?

Lo más probable es que no hayas elegido la puerta correcta al principio … tenías 1/1000 posibilidades de hacerlo.
Pero sabes que el auto está en tu puerta o en la siguiente.

Parece que tienes el 99,9% de posibilidades si cambias de puerta. Y en realidad lo haces.

La forma en que siempre describí el problema de Monty Hall es de esta manera:

La probabilidad de que haya elegido la puerta incorrecta es [matemática] \ frac {1} {3} [/ matemática]. La probabilidad de que no elija la puerta correcta es [math] \ frac {2} {3} [/ math].

Entonces el presentador del programa revela una puerta incorrecta. Sin embargo, las probabilidades originales siguen siendo las mismas: la probabilidad de que la puerta correcta NO sea la elegida es [matemática] \ frac {2} {3} [/ matemática] . Dado que el conjunto de puertas que no eligió se ha reducido a 1 puerta, cambiar a esa puerta significa que ahora tiene una probabilidad [matemática] \ frac {2} {3} [/ matemática] de haber elegido la puerta correcta.

1/3 de las veces que elige el automóvil en su primer intento y 2/3 de las veces está detrás de una de las otras dos puertas. Si Monty siempre abre una puerta, mostrarle una cabra no puede cambiar si ya tiene el automóvil (lo que seguirá siendo cierto 1/3 de las veces), pero una vez que sepa cuál de las otras dos puertas tiene la cabra, También sepa dónde estará el automóvil en los 2/3 de todos los casos en que no estaba detrás de su primera opción.

(No importa si Monty sabe o no exactamente dónde está el auto, siempre y cuando siempre abra una puerta que muestre una cabra, lo que podría hacer mirando en secreto hasta que encuentre una, sin necesariamente ubicar el auto en ese proceso. )

Pero * es * importante que Monty abra una puerta y muestre una cabra es * siempre * parte del juego. Si no lo hace todo el tiempo y sabe dónde está el auto, entonces depende de si realmente quiere que ganes. Si él siempre quiere ganadores y solo abre la puerta cuando lo ayudará, entonces la probabilidad de éxito en el cambio es en realidad del 100%; y si no quiere ganadores y solo abre una puerta cuando ya tiene el automóvil, ¡entonces la probabilidad de éxito en un interruptor es cero!

(En estos últimos casos, la condición de que abra una puerta te deja con una probabilidad diferente de haber elegido bien la primera vez, ya que la condición selecciona solo algunos de tus casos de primera elección. Y en el caso en el que selecciona una puerta al azar y resulta que muestra una cabra, el hecho de que sus posibilidades de cambiar ahora son solo 50-50 es porque omitir los casos en que mostró un automóvil excluye solo los casos en los que se equivocó la primera vez y, por lo tanto, aumenta la posibilidad de que su primera opción fue el correcto.)

Siempre he encontrado que lo siguiente es una explicación muy intuitiva:

En primer lugar, un detalle importante es que el anfitrión siempre elimina una de las puertas no ganadoras, que no es su puerta. Dado que,

Si eliges quedarte, es como si participaras en un programa de juegos similar en el que simplemente eliges 1 de cada 3 puertas y tienes que adivinar la puerta ganadora. El resultado es que ganas 1/3 = 33% de las veces.

Si elige cambiar, es como si participara en un programa de juegos “dual” con las siguientes diferencias de reglas:
– No tienes la oportunidad de cambiar tus puertas.
– Elige 2 puertas (en lugar de 1).
– El anfitrión quita una de sus puertas (más específicamente, una de sus puertas * perdedoras *. Recuerde que siempre tendrá una puerta perdedora garantizada).
– Ganas si tu puerta restante es ganadora.

¡Es bastante simple ver que, como resultado, ganas en el juego de duelo si alguna de tus puertas iniciales es ganadora! es decir, 2/3 = 66% de posibilidades!

Un colega y yo debatimos esto de vez en cuando durante semanas, y finalmente concluimos que todo se reduce a lo que sabes sobre el comportamiento de Monty.

Si sabe que él * siempre * ofrece la opción (como en la forma canónica del problema, como lo han señalado otras respuestas), debe * siempre * elegir cambiar. En ese punto, las matemáticas son inequívocas.

Si sabes que a veces lo ofrece y otras no, o no tienes idea de lo que hace, entonces un elemento de psicología entra en la ecuación. ¿Monty está tratando de ayudarte o impedirte? ¿Usted confia en el? En esto, las matemáticas solo pueden ayudarlo si tiene una muestra lo suficientemente grande de su comportamiento para estimar confiablemente p (eligió la puerta correcta la primera vez) | p (Monty ofrece el cambio)

Monty siempre elimina una elección incorrecta (no una elección aleatoria). Por lo tanto, si su primera respuesta es incorrecta, cambiar la opción siempre le dará la respuesta correcta.

Su primera respuesta es aleatoria e incorrecta 2/3 de las veces. Por lo tanto, cambiar le da la respuesta correcta 2/3 de las veces.

La forma más intuitiva que he encontrado para explicarlo es esta.

Imagina trece cartas sobre una mesa boca abajo, del as al rey.

Te pido que elijas el As. Elige uno, dejándolo boca abajo.
¿Cuáles son las probabilidades de que hayas elegido la correcta? (Respuesta: 1 en 13)

Ahora, esa era la probabilidad de la elección. Ya has hecho esa elección. Entonces las probabilidades no pueden cambiar después, ¿verdad? No importa lo que cualquiera pueda elegir, las probabilidades siguen siendo las mismas.

Ahora, si sus probabilidades son 1 en 13, entonces las probabilidades de que una de las otras cartas sea 12 en 13 ¿verdad? Las probabilidades de todas las opciones disponibles siempre tienen que sumar 13, porque una de ellas es correcta, ¿verdad?

Bien, ahora hay 12 cartas sobre la mesa. Solo uno como máximo puede ser el as. Por lo tanto, SABEMOS que al menos 11 de ellos no son el As. Tomamos uno que no es el as. No hemos aprendido nada nuevo porque sabíamos que esa tarjeta existía. Todo lo que descubrimos fue cuál era. Entonces las probabilidades de su elección no han cambiado.

Las probabilidades totales aún tienen que sumar 13 porque la correcta todavía está ahí afuera. Eso significa que las probabilidades siguen siendo 12 de 13 de que una de las 11 cartas restantes es el As.

Sigues haciendo eso, entregando cartas que no son el As hasta que solo quede una. Al igual que antes, sus probabilidades no pueden cambiar, son 1 en 13 porque lo seleccionó al azar de 12 cartas desconocidas y no se ha agregado información nueva a esa elección. Solo queda una carta y sabemos que el As todavía está ahí afuera. Por lo tanto, tiene una probabilidad de 12 en 13 de ser el As. De nuevo 1 + 12 = 13.

En ese momento tienes dos cartas, una tiene una probabilidad de 1 en 13 de ser el as, y la otra tiene una probabilidad de 12 en 13 de ser el as.

¿Cuál deberías elegir?

Tiene razón en preguntarse si no hay múltiples soluciones igualmente buenas, esto sucede en muchos problemas matemáticos como este. Sin embargo, esto no es así en el problema de Monty Hall.

En el problema clásico de Monty Hall, básicamente hay dos estrategias después de que se abre una puerta

1. Quédese con la puerta que ya eligió (si realmente cree que las probabilidades son 50/50, entonces está perfectamente feliz de no cambiar de puerta).

2. Cambie de puerta (si cree que es más probable que gane al cambiar de puerta, bueno, entonces cambiará de puerta).

Sucede que si te enfrentas a una gran cantidad de situaciones en Monty Hall, la estrategia 2 te dará más victorias que la estrategia 1. Por lo tanto, la estrategia 2 es mejor. Puede programar una computadora para ejecutar una simulación usando estas dos estrategias y ver que ese es el caso muy fácilmente.

No parece contradictorio (tal como lo veo), si considera que, al cambiar, obtiene el tesoro si y solo si inicialmente eligió una puerta que contenga una cabra. Por lo tanto, su probabilidad de obtener el tesoro es su probabilidad de elegir inicialmente una cabra (es decir, 2/3). Si no cambia, su probabilidad de obtener el tesoro es, por supuesto, 1/3.