¿Cómo se relacionan la topología y la programación lineal?

No están directamente relacionados, pero ambos tienen un sabor geométrico. La topología es obviamente geométrica, y LP lo es, ya que la optimización de funciones lineales sujetas a restricciones de desigualdad lineal corresponde a la búsqueda de un hiperplano extremo que se cruza con un poliedro convexo de alta dimensión, y muchos algoritmos LP hacen uso de la teoría de los poliedros convexos. Más específicamente, cada desigualdad lineal define un medio espacio (todo el espacio a un lado de un hiperplano), y los puntos que satisfacen un grupo de estas desigualdades deben estar en la intersección de los medios espacios correspondientes. Los poliedros convexos son intersecciones de muchos medios espacios, por lo que la región con la que está trabajando es un poliedro convexo. Ahora, los conjuntos de niveles de una función lineal son solo traducciones de un hiperplano, por lo que para maximizar una función lineal en un poliedro convexo, desea encontrar la traducción más extrema del hiperplano que atraviesa el poliedro. En la mayoría de los casos, el hiperplano no es paralelo a ninguna cara del poliedro, por lo que esta intersección estará en un vértice.

Por lo que recuerdo, la programación lineal es necesaria para comprender la topología. Por el momento, la topología es muy abstracta. La programación lineal le enseñará métodos para resolver problemas que normalmente no son “solucionables” mediante algo como Cálculo, lo que no significa que no usará Cálculo para resolver estos problemas.

Es más que probable que este profesor esté trabajando en cómo aplicar la programación lineal para hacer que el campo de la topología sea menos abstracto. Típicamente, cuando un campo es demasiado abstracto, eso significa que todavía se sabe poco sobre cómo usarlo para resolver problemas y cómo aplicarlo directamente para resolver problemas menos abstractos.