¿Cuál es la integración de 1 / (2sinx + cosx + 3)?

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {2 \ sin x + \ cos x + 3} \, dx [/ matemáticas]

Para resolver esto, voy a usar 2 Identidades Trigonométricas conocidas …

  • [matemáticas] \ sin x = \ dfrac {2 \ tan (\ frac {x} {2})} {1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} [/ matemáticas]
  • [matemáticas] \ cos x = \ dfrac {1- \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} {1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} [/ matemáticas]

¡Ahora vamos al grano!

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {2 \ sen x + \ cos x + 3} \, dx & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {2 \ left (\ dfrac {2 \ tan (\ frac {x} {2})} {1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} \ right) + \ left (\ dfrac {1- \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} {1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} \ right) + 3} \, dx \\ & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} {4 \ tan (\ frac {x} {2}) + 1- \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2}) + 3 (1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2}))} \, dx \\ & = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sec ^ 2 (\ frac {x} {2})} {2 \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2}) + 4 \ tan (\ frac {x} {2}) + 4} \, dx \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * { }[/matemáticas]

Ahora sustituya [math] \ tan (\ frac {x} {2}) = t [/ math]

Tomando derivados de ambos lados …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ dfrac {1} {2} \ sec ^ 2 (\ frac {x} {2}) dx = dt & \ implica \ sec ^ 2 (\ frac {x } {2}) dx = 2 dt \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]

Entonces ahora tenemos …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sec ^ 2 (\ frac {x} {2})} {2 \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2} ) + 4 \ tan (\ frac {x} {2}) + 4} \, dx & = \ displaystyle \ int \ dfrac {2} {2t ^ 2 + 4t + 4} \, dt \\ & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {t ^ 2 + 2t + 2} \, dt \\ & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {(t + 1) ^ 2 + 1} \, dt \\ & = \ tan ^ {- 1} (t + 1) + C \\ & = \ tan ^ {- 1} \ left [\ tan \ left (\ frac {x} {2} \ right) +1 \ right] + C \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

Resuelto 😀

En este caso, convierta la función de sen x y cos x en términos de tan (x / 2) y luego convierta [math] 1+ (tan x / 2) ^ 2 [/ math] en [math] (sec x / 2) ^ 2 [/ matemáticas]….

Por lo tanto, deje que tan (x / 2) = t y por lo tanto [matemáticas] (seg x / 2) ^ 2 [/ matemáticas] dx = dt.

Así, la integral se simplifica …

Gracias…..

Pregunte nuevamente en caso de que ocurra un problema … Enviaré la solución …

Gracias….

No pude entenderlo. ¿Me puede dar su solución adecuada?

Si por qué no…

Por favor, verlo … Estoy enviando la foto de la solución …

Gracias … ^^^

Espero que funcione para ti … ^^^^

I = ∫12sinx + cosx + 3dx [matemática] I = ∫12sin⁡x + cos⁡x + 3dx [/ matemática]

Para resolver esto, voy a usar 2 Identidades Trigonométricas conocidas …

  • sinx = 2tan (x2) 1 + tan2 (x2) [matemática] sin⁡x = 2tan⁡ (x2) 1 + tan2⁡ (x2) [/ matemática]
  • cosx = 1 − tan2 (x2) 1 + tan2 (x2) [matemática] cos⁡x = 1 − tan2⁡ (x2) 1 + tan2⁡ (x2) [/ matemática]

¡Ahora vamos al grano!

∫12sinx + cosx + 3dx = ∫12 (2tan (x2) 1 + tan2 (x2)) + (1 − tan2 (x2) 1 + tan2 (x2)) + 3dx = ∫1 + tan2 (x2) 4tan (x2) + 1 − tan2 (x2) +3 (1 + tan2 (x2)) dx = ∫sec2 (x2) 2tan2 (x2) + 4tan (x2) + 4dx [matemáticas] ∫12sin⁡x + cos⁡x + 3dx = ∫ 12 (2tan⁡ (x2) 1 + tan2⁡ (x2)) + (1 − tan2⁡ (x2) 1 + tan2⁡ (x2)) + 3dx = ∫1 + tan2⁡ (x2) 4tan⁡ (x2) +1 −tan2⁡ (x2) +3 (1 + tan2⁡ (x2)) dx = ∫sec2⁡ (x2) 2tan2⁡ (x2) + 4tan⁡ (x2) + 4dx [/ matemática]

Ahora sustituya tan (x2) = t [matemáticas] tan⁡ (x2) = t [/ matemáticas]

Tomando derivados de ambos lados …

12sec2 (x2) dx = dt⟹sec2 (x2) dx = 2dt [matemática] 12sec2⁡ (x2) dx = dt⟹sec2⁡ (x2) dx = 2dt [/ matemática]

Entonces ahora tenemos …

∫sec2 (x2) 2tan2 (x2) + 4tan (x2) + 4dx = ∫22t2 + 4t + 4dt = ∫1t2 + 2t + 2dt = ∫1 (t + 1) 2 + 1dt = tan − 1 (t + 1) + C = tan − 1 [tan (x2) +1] + C

Sugerencia: Sustituya [math] \ tan \ dfrac {x} {2} = t [/ math]; [matemáticas] dx = \ dfrac {2} {1 + t ^ 2} dt [/ matemáticas]; [matemáticas] \ sen x = \ dfrac {2t} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]; y [matemáticas] \ cos x = \ dfrac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]

En todas estas preguntas de tipo, a sen x + b cos x + c, tenemos una forma general de soln, sustituto, sen x = (2tanx / 2) / 1 + tan ^ 2 x / 2

Cos x = (1-tan ^ x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2)

Más adelante, pon tan x / 2 = t

(Sec ^ 2 x / 2) dx = 2dt

I = ʃ dx / (2sin x + cos x + 3)

= ʃ dx / [2 (sen x + 1) + (cos x + 1)]

= ʃ dx / [2 {cos (x / 2) + sin (x / 2)} ^ 2 + 2 {cos (x / 2)} ^ 2]

= (1/2) * ʃ dx / [{cos (x / 2) + sin (x / 2)} ^ 2 + {cos (x / 2)} ^ 2]

= (1/2) * ʃ {sec (x / 2) ^ 2} * dx / [1 + [1 + {tan (x / 2)} ^ 2]] Multiplicando tanto el numerador como el denominador por {sec (x / 2) ^ 2}.

Deje, z = [1 + tan (x / 2)]; entonces, dz = (1/2) * [{sec (x / 2)} ^ 2] * dx

Entonces, I = ʃ dz / {1 + (z ^ 2)} = tan

-1

z + K = tan

-1

{1 + tan (x / 2)} + K