[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {2 \ sin x + \ cos x + 3} \, dx [/ matemáticas]
Para resolver esto, voy a usar 2 Identidades Trigonométricas conocidas …
- [matemáticas] \ sin x = \ dfrac {2 \ tan (\ frac {x} {2})} {1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ cos x = \ dfrac {1- \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} {1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} [/ matemáticas]
¡Ahora vamos al grano!
- En términos matemáticos, ¿qué significa 'evaluar'?
- ¿Puede la riqueza ser infinita, o la búsqueda de la riqueza solo puede ser infinita?
- ¿Cuáles son sus técnicas para leer matemáticas activamente?
- ¿Cuál es la relación entre el teorema de la PAC y la efectividad de la economía centralizada de la Unión Soviética?
- ¿Cuál es tu materia / campo matemático favorito?
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {2 \ sen x + \ cos x + 3} \, dx & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {2 \ left (\ dfrac {2 \ tan (\ frac {x} {2})} {1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} \ right) + \ left (\ dfrac {1- \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} {1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} \ right) + 3} \, dx \\ & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} {4 \ tan (\ frac {x} {2}) + 1- \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2}) + 3 (1+ \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2}))} \, dx \\ & = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sec ^ 2 (\ frac {x} {2})} {2 \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2}) + 4 \ tan (\ frac {x} {2}) + 4} \, dx \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * { }[/matemáticas]
Ahora sustituya [math] \ tan (\ frac {x} {2}) = t [/ math]
Tomando derivados de ambos lados …
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ dfrac {1} {2} \ sec ^ 2 (\ frac {x} {2}) dx = dt & \ implica \ sec ^ 2 (\ frac {x } {2}) dx = 2 dt \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]
Entonces ahora tenemos …
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sec ^ 2 (\ frac {x} {2})} {2 \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2} ) + 4 \ tan (\ frac {x} {2}) + 4} \, dx & = \ displaystyle \ int \ dfrac {2} {2t ^ 2 + 4t + 4} \, dt \\ & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {t ^ 2 + 2t + 2} \, dt \\ & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {(t + 1) ^ 2 + 1} \, dt \\ & = \ tan ^ {- 1} (t + 1) + C \\ & = \ tan ^ {- 1} \ left [\ tan \ left (\ frac {x} {2} \ right) +1 \ right] + C \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]
Resuelto 😀