Ayuda a comprender el contexto en el que Ed Witten hizo sus contribuciones.
Su medalla Fields laudatio fue escrita por Sir Michael Atiyah, uno de los gigantes matemáticos del siglo XX. Atiyah describe dicho contexto de la siguiente manera:
La última década ha visto un renacimiento notable en la interacción entre las matemáticas y la física. …
- ¿Cuál es la tasa de cambio en la velocidad?
- ¿Cuál es la relación entre la música y las matemáticas?
- ¿Debo tomar matemática pura o matemática aplicada para mi especialidad?
- ¿Se pueden usar las matemáticas para probar soluciones incorrectas?
- ¿Qué es una pendiente empinada? ¿Cómo se puede calcular?
La comunidad matemática se ha beneficiado de esta interacción de dos maneras. Primero, y más convencionalmente, los matemáticos han sido estimulados a aprender algo de la física relevante y colaborar con colegas en física teórica. En segundo lugar, y más sorprendentemente, muchas de las ideas que emanan de la física han conducido a nuevas percepciones significativas en problemas puramente matemáticos, y en consecuencia se han hecho descubrimientos notables. …
En todo este campo grande y emocionante, que involucra a muchos de los físicos y matemáticos líderes del mundo, Edward Witten se destaca claramente como la figura más influyente y dominante. Aunque definitivamente es un físico (como lo muestra claramente su lista de publicaciones), pocos matemáticos rivalizan con su dominio de las matemáticas, y su capacidad para interpretar ideas físicas en forma matemática es bastante única. Una y otra vez ha sorprendido a la comunidad matemática con una aplicación brillante de conocimiento físico que conduce a nuevos y profundos teoremas matemáticos.
El resto de la laudatio discute las contribuciones explícitamente matemáticas de Witten, es decir, aquellas relevantes para los Campos. Curiosamente, Atiyah señala que al hacerlo ignora “la mayor parte de sus publicaciones, que tratan temas específicamente físicos “.
Al leer el laudatio de Atiyah, queda claro que una característica destacada del trabajo de Witten es su fertilidad (para tomar prestado el término de Gauss al describir a Riemann). Hay muchas oraciones como esta:
Como de costumbre, el trabajo de Witten, que era muy preciso y detallado en sus aspectos formales, estimuló una gran actividad en esta área, culminando con pruebas rigurosas de estos nuevos teoremas de rigidez por Bott y Taubes …
y esto:
… es típico de la perspicacia y habilidad técnica de Witten que finalmente surgió con una prueba simple y bastante clásica. El artículo de Witten estimuló a matemáticos y físicos en varias direcciones, demostrando la fecundidad de sus ideas.
y esto:
Además, el enfoque de Witten es extremadamente poderoso y flexible, lo que sugiere una serie de generalizaciones importantes de la teoría que se están estudiando actualmente y que pueden resultar importantes.
No creo que pueda sacar mucho más provecho de la laudatio sin la madurez matemática requerida y al menos una familiaridad pasajera con los conceptos básicos de lo que Witten está trabajando; Ciertamente yo tampoco. Encontré la respuesta de Brent Follin a la pregunta relacionada ¿Cómo consiguió Ed Witten una Medalla Fields? Un útil resumen laico de alto nivel:
Las teorías [de campo] eran un campo de investigación mucho más activo en los departamentos de física que en los departamentos de matemáticas, debido a su aplicabilidad para explicar los resultados de los aceleradores de partículas. Los matemáticos, por otro lado, estaban (en términos generales) apagados por la falta de rigor en el uso de los diagramas de Feynman, el método dominante de cálculo.
Witten, al tratar de avanzar en la finalización de las teorías de campo por UV (alta energía) (que se sabe que dan tonterías a energías suficientemente altas), hizo varios avances importantes en la estructura de los campos (cuánticos). A medida que más “matemáticos” se dieron cuenta de la utilidad de las descripciones teóricas de campo, en particular su capacidad de conectar los resultados en el análisis funcional con las nociones de topología y álgebra, reconocieron a Witten como uno de los varios físicos que se habían convertido en los investigadores de vanguardia en la disciplina. y le otorgó el premio.
Para completar la imagen, uno de los resultados que surgió del trabajo de Witten fue la construcción de invariantes cuánticos, que proporcionaron una alternativa rigurosa a los cálculos perturbativos del diagrama de Feynman, y colocaron la teoría de los campos cuánticos sobre una base matemática más segura. Entonces, ahora, no solo se estaban haciendo interesantes conexiones matemáticas a través de las ideas de la teoría cuántica de campos (QFT), los caminos para estas conexiones podrían establecerse con suficiente rigor matemático, y la investigación de las propiedades de QFT pasó de una herramienta para explicar datos de física energética en un área completa de investigación matemática.
