¿Por qué las integrales de las funciones delta exponenciales complejas?

Interesante pregunta.
La función Delta de Dirac ni siquiera es estrictamente una función, es una distribución, y su significado está mal definido a menos que se encuentre bajo un signo integral.
Puede pensarlo como una versión limitante de un delta de Kronecker donde x es una etiqueta continua en lugar del ij discreto del delta de Kronecker.
Alternativamente, se puede considerar como un caso limitante de una distribución gaussiana, con un pico infinito sobre alfa.

¿Eres matemático o físico o ingeniero? Al nivel de la mayoría de los físicos, simplemente usa eso como una definición y no te preocupes demasiado por la función delta.
Si usted es matemático, entonces necesita un análisis y conocimiento bastante serios sobre la teoría de la distribución para familiarizarse con las funciones delta. La mayoría de los matemáticos están horrorizados por cómo abandono las funciones delta con abandono.

El reclamo puede ser probado, pero no daré la prueba aquí.

Si conoce un poco sobre las transformadas de Fourier, considere la transformación de Fourier de “1”.
Eso será revelador.

Este enlace tiene material interesante sobre la función Delta de Dirac y la Transformada de Fourier.
http://materia.fisica.unipd.it/s …

Para responder a su pregunta, es suficiente establecer [math] \ alpha = 0 [/ math].
Intuitivamente, queremos [matemática] \ delta (x) = 1 [/ matemática] si [matemática] x = 0 [/ matemática] y cero de lo contrario con [matemática] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (x ) dx = 1 [/ matemática].
Desafortunadamente, esto no tiene mucho sentido con la definición estándar de integral de Lebesgue.
Configuración matemática
Deje que [math] D = C ^ \ infty_0 (\ Omega), \ Omega = \ mathbb {R} [/ math] sea el espacio de funciones compactas, infinitamente diferenciables y de valor real. Como esto es denso en [matemática] H = L ^ 2 (\ Omega) [/ matemática], el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado, podemos tomar cualquier función de prueba de [matemática] D [/ matemática]. El producto interno en nuestro espacio de Hilbert está dado por
[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ int f (x) g (x) dx. [/ math]
Para definir la “función delta” dejemos [math] D ‘[/ math] el espacio dual de [math] D [/ math], que es lineal por definición. Esto actúa en su espacio de funciones de prueba y devuelve un número complejo. Como sus entradas son funciones, los elementos de [math] D ‘[/ math] se denominan funcionales. La función delta es en realidad un funcional que vive en este espacio. Me referiré a él como el delta-funcional en adelante, dado por
[matemáticas] \ delta (f) = f (0). [/matemáticas]
Transformada de Fourier
Dada una función de prueba, la Transformada de Fourier generalmente se da para cualquier valor de [math] k \ in \ mathbb {R} [/ math] como
[matemática] \ hat {f} (k) = \ matemática {F} (f) (k) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R}} f (x ) e ^ {- ik \ cdot x} dx. [/ math]
La transformación inversa de Fourier es una acción que devuelve su función original dada la transformación de Fourier,
[matemáticas] \ matemáticas {F} ^ {- 1} (\ hat {f}) (x) = f (x), [/ matemáticas]
y es casi idéntico a la Transformada de Fourier
[matemáticas] \ matemáticas {F} ^ {- 1} (g) (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R}} g (k) e ^ { ik \ cdot x} dk. [/matemáticas]
Prueba de dos líneas
Las transformadas de Fourier de funcionales se definen como las funciones que actúan sobre la transformación de Fourier de la función de entrada, [math] \ mathcal {F} (\ delta) (f) = \ delta (\ mathcal {F} (f)) [/ matemática] o más simplemente ponga [matemática] \ hat {\ delta} (f) = \ delta (\ hat {f}) [/ math]. Sabemos que el lado derecho es igual a [math] \ hat {f} (0) [/ math] de la definición de la función delta, por lo tanto, conecte [math] k = 0 [/ math] para la definición de Transformada de Fourier, [math] \ hat {\ delta} (f) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx = \ langle \ frac { 1} {\ sqrt {2 \ pi}}, f \ rangle. [/ math] Observe que la Transformada de Fourier del delta-funcional puede considerarse simplemente como una constante. Como lo anterior es válido para todas las funciones de prueba, aquí es donde soltamos la entrada para lo funcional.

Aplique la Transformada inversa de Fourier para llegar a su fórmula
[matemática] \ delta (x) = \ matemática {F} ^ {- 1} (\ hat {\ delta}) (x) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {ik \ cdot x} dk. [/matemáticas]