Algunos otros autores han proporcionado enlaces; Voy a tratar de proporcionar una breve introducción aquí.
El ingrediente clave para definir infinitesimales es una construcción matemática llamada Ultrafiltro no principal . No daré una definición formal (puede seguir el enlace), pero básicamente una NPU en un conjunto infinito S es una forma de definir qué subconjuntos de S son “grandes”, incluidas las propiedades que
- Los conjuntos co-finitos son “grandes”,
- Si [math] \ mathbf {X} \ subset \ mathbf {Y} \ subset \ mathbf {S} [/ math] y X es “grande”, entonces Y es “grande”, y
- Exactamente uno de X y SX es “grande”.
Ahora, dada una NPU en [math] \ mathbb {N} [/ math], considere las secuencias [math] \ {x_n \} _ {n \ in \ mathbb {N}} [/ math] de números reales. [En realidad, podemos permitir que S sea de una cardinalidad infinita y usar conjuntos de números reales indexados en S en lugar de secuencias aquí, pero la idea es la misma independientemente y las secuencias probablemente te parecerán menos extrañas.]
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Diremos que [math] \ {a_n \} \ le \ {b_n \} [/ math] iff [math] \ {n: a_n \ le b_n \} [/ math] es “grande”. Podemos definir clases de equivalencia por [math] \ {a_n \} \ simeq \ {b_n \} [/ math] iff [math] \ {n: a_n = b_n \} [/ math] es “grande”. Es fácil ver que toda la aritmética (y de hecho mucho más) es consistente en este modelo de clase de equivalencia.
Ahora, para cualquier número real x , podemos asociar la secuencia constante [math] \ {x_n = x \} [/ math]. Esto incorpora los números reales en nuestro modelo. Sin embargo, considere [math] B = \ {1 / n \} [/ math]. Es fácil ver que 0 < B < x para cada número real positivo x, por lo que este B es precisamente un infinitesimal en nuestro modelo.
Esperemos que esto proporcione una introducción decente; ¡Estoy feliz de aclarar en los comentarios a continuación!
