¿Cuál es la definición matemática de una expresión lógica? ¿Es un conjunto ordenado de predicados y operadores booleanos?

Las definiciones habituales de “expresión” (mejor conocida como “fórmula”) en lógica proposicional y lógica de predicado son que son ciertas cadenas en ciertos alfabetos abstractos. (Para el segundo, también necesitaremos definir “término”).

Deje que [math] X_1, X_2, \ ldots [/ math] sea una colección (finita o infinita) de “variables de predicado atómico”, que simplemente significa “variables que permitimos representar enunciados”. Piense en estos como caracteres en un alfabeto abstracto, que podemos usar para hacer cadenas. Luego:

• si [math] X [/ math] es una variable de predicado atómico, entonces la cadena [math] X [/ math] es una expresión proposicional;
• si [math] \ varphi, \ psi [/ math] son ​​expresiones proposicionales, entonces las cadenas [math] (\ varphi \ land \ psi) [/ math], [math] (\ varphi \ lor \ psi) [/ math ] y [math] (\ neg \ varphi) [/ math] son ​​expresiones proposicionales. (No está preguntando acerca de las interpretaciones de estas expresiones, pero si estaba interesado, estas deben interpretarse como conjunción, disyunción y negación, respectivamente).

En otras palabras, las expresiones son cadenas que usan los siguientes caracteres de ciertas maneras: [math] (,), \ land, \ lor, \ neg, X_1, X_2, \ ldots [/ math].

Del mismo modo, para la lógica de predicados, dejemos que [math] x_1, x_2, \ ldots [/ math] sea una colección de “variables de elementos”, que simplemente significa “variables que permitimos representar objetos individuales”. Además, opcionalmente, deje que [math] R_1, R_2, \ ldots, F_1, F_2, \ ldots [/ math] sean “símbolos de relación” y “símbolos de función”, y deje [math] 0 \ leq k_1, k_2, \ ldots , \ ell_1, \ ell_2, \ ldots, <\ infty [/ math] sean números naturales.

(Estos números nos dicen cuántas entradas debe tomar un símbolo de relación o símbolo de función, que en el negocio se llama “arity”. Esto significa que [math] R_n [/ math] es “[math] k_n [/ math] -ary “y [math] F_n [/ math] es” [math] \ ell_n [/ math] -ary “, en otras palabras que [math] F_n (x_1, \ ldots, x _ {\ ell_n}) [/ math ] tiene sentido pero [matemáticas] F_n (x_1, \ ldots, x _ {\ ell_n-1}) [/ matemáticas] no).

Luego:

• si [math] x [/ math] es una variable de elemento, entonces la cadena [math] x [/ math] es un término;
• si [math] F [/ math] es un símbolo de función [math] n [/ math] -ary y [math] t_1, \ ldots, t_n [/ math] son ​​términos, entonces la cadena [math] F (t_1, \ ldots, t_n) [/ math] es un término.

Usando esta definición, podemos definir expresiones lógicas predicadas:

• Para cualquiera de los dos términos [matemática] t_1, t_2 [/ matemática], la cadena [matemática] t_1 = t_2 [/ matemática] es una expresión predicada;
• Si [math] R [/ math] es un símbolo de relación [math] n [/ math] -ary y [math] t_1, \ ldots, t_n [/ math] son ​​términos, entonces la cadena [math] R (t_1, \ ldots, t_n) [/ math] es una expresión predicada;
• Si [math] \ varphi, \ psi [/ math] son ​​expresiones predicadas, entonces las cadenas [math] (\ varphi \ land \ psi) [/ math], [math] (\ varphi \ lor \ psi) [/ math ] y [math] (\ neg \ varphi) [/ math] son ​​expresiones predicadas; y
• Si [math] \ varphi [/ math] es una expresión predicada y [math] x [/ math] es una variable de elemento, entonces las cadenas [math] \ exist x (\ varphi) [/ math] y [math] \ forall x (\ varphi) [/ math] son ​​expresiones predicadas.

Entonces, para concluir: las expresiones lógicas (también conocidas como fórmulas) son cadenas en un lenguaje especial. Si desea que sean cadenas ASCII (o cadenas binarias o lo que sea), puede modificar la definición para que se ajuste a sus propias necesidades.