tl; dr : El análisis armónico es interesante para los matemáticos (tanto aplicados como teóricos) porque proporciona una herramienta para estudiar las soluciones más simples y no triviales del laplaciano. Como dice Edward Nelson (en Tensor Analysis ),
El operador de Laplace en sus diversas manifestaciones es el objeto más bello y central de todas las matemáticas. Teoría de probabilidad,
la física matemática, el análisis de Fourier, las ecuaciones diferenciales parciales, la teoría de los grupos de Lie y la geometría diferencial, todos giran
alrededor de este sol, y su luz incluso penetra en regiones tan oscuras
como teoría de números y geometría algebraica.
Históricamente, el análisis armónico comenzó cuando los matemáticos (y físicos) del siglo XIX se dieron cuenta de que el análisis complejo y la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales se superponían. Recordemos lo que significa ser armónico:
- Si [math] \ cos ^ 3 (x) + \ sec ^ 3 (x) = 0 [/ math], entonces ¿qué es [math] \ sin (2x) =? [/ Math]
- ¿Es sorprendente que un estudiante de Harvard se haya enseñado a sí mismo un año de matemáticas en la escuela secundaria en tres días? ¿Cómo se hace eso?
- ¿Cuáles son las lagunas en las matemáticas?
- ¿Qué es exactamente la exponenciación si no es una multiplicación repetida?
- ¿Cuál es el método para calcular el antilog sin usar la tabla de registro?
[matemática] \ phi \ en C ^ {\ infty} (X) [/ matemática] es armónica [matemática] \ iff [/ matemática] laplaciana [matemática] (\ phi) = 0 [/ matemática]
[Tenga en cuenta que todavía no estoy definiendo explícitamente a un laplaciano]
Hoy en día, las personas con antecedentes en ciencia e ingeniería (pero no en matemáticas) tienden a asociar el Análisis Armónico únicamente con cosas como Daubechies y Haar wavelets. Sin embargo, el análisis armónico ha proporcionado una serie de problemas que se cruzan con otras áreas de las matemáticas [ Nota: terminaré de escribir el resto más tarde]:
- Descomposición de Hodge: considere una variedad suave [matemática] M [/ matemática]. Asociado a esta variedad hay un anillo de cohomología (De Rham) [matemáticas] H ^ {\ bullet} (M, \ mathbb {R}) [/ matemáticas] que representa el conjunto de formas diferenciales [matemáticas] k [/ matemáticas] para todos [matemáticas] k \ en 1,…, \ dim M [/ matemáticas]. Hodge demostró que cada clase de cohomología [matemáticas] \ omega \ en H ^ {k} (M) [/ matemáticas] puede escribirse como
[matemáticas] \ omega = d \ alpha + \ delta \ beta + \ gamma [/ matemáticas]
donde [math] \ alpha [/ math] es una forma [math] k-1 [/ math], [math] \ beta [/ math] es una forma [math] k + 1 [/ math] y [math] \ gamma [/ math] es una forma armónica : [math] (dd ^ {\ dagger} + d ^ {\ dagger} d) \ gamma = 0 [/ math]
donde [math] d [/ math] es el operador de De Rham y [math] d ^ {\ dagger} [/ math] es su adjunto. Esto da un isomorfismo,
[matemáticas] H ^ {k} (M, \ mathbb {R}) \ cong d \ Omega ^ {k} (M) \ oplus \ delta \ Omega ^ {k + 1} (M) + \ text {Harm} ^ {k} (M) [/ matemáticas]
Además, dice que cada clase de equivalencia de [matemáticas] H ^ {k} (M) [/ matemáticas] tiene un representante armónico único, de modo que como espacios vectoriales [matemáticas] H ^ k (M) \ cong \ text {Harm} ^ {k} (M) [/ matemáticas]
- Dualidad Pontryagin / Dualidad Tannaka
- Conjetura de Hodge
- Estudio de fractales / geometría métrica
- Espectros de operadores conformales en un múltiple
