¿Cuándo surge una asíntota vertical?

Deja un espacio en blanco que es exactamente un punto de ancho. Los Aymptotes, por definición, nunca alcanzan la línea a la que intentan acercarse: esa línea corresponde al punto donde la función no está definida. Las asíntotas verticales surgen cuando la cantidad en el denominador de una función llega a cero (el numerador, probablemente no). Sin embargo, alrededor del punto donde no está definido y siempre que sea continuo antes de eso, puede hacer que el valor de la función sea tan grande como desee. Esto provoca un aumento muy pronunciado en el gráfico de la función, que es la asíntota. Las asíntotas verticales se caracterizan por la derivada de la función que tiende hacia [math] \ pm \ infty [/ math] en el punto donde la función no está definida.

Para entender esto más claramente, esto es lo que haremos:

Deje [math] h (x) = \ dfrac {f (x)} {g (x)} [/ math] tal que [math] g (x_1) = 0 [/ math] y [math] f (x) [/ math], [math] g (x) [/ math] y [math] h (x) [/ math] son ​​continuos y diferenciables sobre números reales en el intervalo [math] [a, x_1) [/ math ] Así,

[matemáticas] h ‘= \ dfrac {f’g – fg’} {g ^ 2} = \ dfrac {f ‘} {g} – \ dfrac {fg’} {g ^ 2} [/ math],

La única forma en que esta expresión podría evaluar a otra cosa que [math] \ pm \ infty [/ math] es cuando todo [math] f, [/ math] [math] f ‘[/ math] y [math] g’ \ a 0 [/ math] como [math] x \ a a [/ math].

A2A: La función [matemática] \ frac {1} {xa} [/ matemática] tiene asíntota vertical [matemática] x = a [/ matemática], porque a medida que [matemática] x [/ matemática] se acerca a [matemática] a [/ math] el denominador se vuelve cada vez más pequeño, lo que hace que la función aumente (o disminuya) sin límite hasta que se alcance [math] x = a [/ math].

mira la función tan x

tan x = sen x / cos x

Trazarlo en Excel y lo verás.

x tan x
-2 || 2.185039863
-1,95 || 2.509475468
-1,9 || 2.927097515
-1,85 || 3.488059589
-1,8 || 4.286261675
-1,75 || 5.520379923
-1,7 || 7.696602139
-1,65 || 12.59926479
-1,6 || 34,23253274
-1,55 || -48.07848248
-1,5 || -14.10141995
-1,45 || -8.238092753
-1,4 || -5.797883715
-1,35 || -4.45522176
-1,3 || -3.602102448
-1.25 || -3.009569674
-1,2 || -2.572151622
-1,15 || -2.234496949
-1,1 || -1.964759657
-1.05 || -1.74331531
-1 || -1.557407725
-0,95 || -1.398382589
-0,9 || -1.260158218
-0,85 || -1.138332713
-0,8 || -1.029638557
-0,75 || -0.93159646
-0,7 || -0.84228838
-0,65 || -0.760204399
-0,6 || -0.684136808
-0,55 || -0.613105213
-0,5 || -0.54630249
-0,45 || -0.483055066
-0,4 || -0.422793219
-0,35 || -0.365028495
-0,3 || -0.30933625
-0,25 || -0.255341921
-0,2 || -0.202710036
-0,15 || -0.151135218
-0,1 || -0.100334672
-0,05 || -0.050041708
0 || 0 0
0,05 || 0.050041708
0,1 || 0.100334672
0,15 || 0.151135218
0,2 || 0.202710036
0.25 || 0.255341921
0,3 || 0.30933625
0,35 || 0.365028495
0,4 || 0.422793219
0,45 || 0.483055066
0,5 || 0.54630249
0,55 || 0.613105213
0.6 || 0.684136808
0,65 || 0.760204399
0,7 || 0.84228838
0,75 || 0.93159646
0,8 || 1.029638557
0,85 || 1.138332713
0,9 || 1.260158218
0,95 || 1.398382589
1 || 1.557407725
1,05 || 1.74331531
1.1 || 1.964759657
1,15 || 2.234496949
1,2 || 2.572151622
1,25 || 3.009569674
1,3 || 3.602102448
1,35 || 4.45522176
1,4 || 5.797883715
1,45 || 8.238092753
1,5 || 14.10141995
1,55 || 48.07848248
1,6 || -34.23253274
1,65 || -12.59926479
1,7 || -7.696602139
1,75 || -5.520379923
1,8 || -4.286261675
1,85 || -3.488059589
1,9 || -2.927097515
1,95 || -2.509475468
2 || -2.185039863

éxito.

Una asíntota vertical se crea como resultado de dividir por cero.

En la ecuación y = (x + 2) / (x) se espera una asíntota vertical en x = 0. Esto se debe a que cuando x = 0 está dividiendo por 0.

En la ecuación y = (x) / (x + 2) se espera una asíntota vertical en x = -2. Porque -2 + 2 = 0 y nuevamente estás dividiendo entre cero.

En la ecuación y = (x ^ 2 +4) / (x ^ 2 -4) se esperan 2 asíntotas verticales. Uno en x = 2 desde 2 ^ 2–4 = 4 – 4 = 0, y otro en x = (-2), desde (-2) ^ 2 -4 = 4 – 4 = 0. Pero observe que la ecuación y = (x ^ 2 – 4) / (x ^ 2 +4) no tiene asíntotas. Esto se debe a que x ^ 2 + 4 nunca será igual a cero en los números reales.

Sí, es cierto que la función no está definida en ese punto. Pero pensemos por qué no está definido en una asíntota vertical. Utilizaremos el ejemplo de f (x) = 1 / x con la asíntota vertical x = 0.

¿Por qué esta función no está definida en x = 0?

Bueno, si intentas ingresar x = 0 en f, obtienes 1/0 que sabemos que no está definido. Eso no significa que el gráfico sea solo una línea continua con un agujero en x = 0. Tenemos que mirar lo que sucede cerca de x = 0. A medida que x se acerca mucho a 0 desde el lado positivo, f (x) se vuelve muy grande porque 1 / (número realmente pequeño) = (número realmente grande) y desde el lado negativo sucede lo mismo, pero f (x) pasa a negativo infinito como x va a 0.

Obviamente, el infinito y el infinito negativo no son lo mismo, y ni siquiera son finitos, por lo que el gráfico no será solo una línea continua con un agujero.

Tenemos que pensar por qué la función no está definida; ¿Qué sucede cuando x se acerca a la asíntota vertical?

Esperemos que esto lo aclare. 🙂