La respuesta de Jack es un buen tratamiento matemático. Me gustaría agregar un tratamiento más intuitivo, que es efectivamente una narración del argumento de Jack.
En general, puede pensar que los números complejos viven en un plano, donde la parte real es el componente xy la parte imaginaria es el componente y.
Elevar un número real positivo a una potencia imaginaria da como resultado un número complejo que actúa como un operador de rotación cuando se aplica a (multiplicado por) otros números complejos. Cuando multiplique algún otro número complejo [matemático] a + ib [/ matemático] por el factor que ha creado, el resultado tendrá la misma magnitud que el original ([matemático] \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ math]), pero representará un punto en el plano complejo que se gira alrededor del origen en relación con el punto original.
- Cómo describir una variedad como un cilindro usando un gráfico de coordenadas local
- ¿Qué es lo mejor que la gente sabe en matemáticas?
- ¿Por qué no más personas acompañan las fórmulas matemáticas con explicaciones de lo que significan las variables y ejemplos de cómo ingresar valores en esas fórmulas?
- ¿Se sabe que hay un número infinito de soluciones impares para la conjetura de Collatz?
- ¿Vale la pena sacrificar algunas cosas en mi vida para participar en la Olimpiada Internacional de Matemáticas?
Tenga en cuenta que esta no es una habilidad especial impuesta al número complejo resultante por el proceso de exponenciación. Todos los números complejos, cuando se multiplican, tienen el efecto de 1) escalar (multiplicar) la magnitud por algún factor de número real positivo, y 2) girar alrededor del origen por algún ángulo.
Todos los números complejos se pueden escribir en la forma [math] ae ^ {i \ theta} [/ math] donde [math] a [/ math] es el factor de escala y [math] \ theta [/ math] es la rotación ángulo en radianes. El ejemplo que da tiene un factor de escala implícito de 1, por lo que es conveniente considerarlo como un operador de rotación, ya que conserva la magnitud (distancia desde el origen).
