¿Qué ejemplos “prácticos” de uso de álgebra lineal y cálculo multivariable básico puedo usar para motivar a mis alumnos?

Creo que el descenso de gradiente sería una gran aplicación para mostrar a tus alumnos. Es un algoritmo muy simple y muy fácil de entender para aproximar extremos (locales) de una función diferenciable. Dado el nombre del método, estoy seguro de que ya puedes adivinar cómo funciona si aún no lo sabías. Pero wikipedia tiene una buena entrada: http://en.wikipedia.org/wiki/Gra…

La regresión lineal de mínimos cuadrados, por supuesto, tiene una solución única (ya que la función que se optimiza es una forma cuadrática definida positiva) que se puede encontrar exactamente: http://en.wikipedia.org/wiki/Lin…
Podrías pensar que este es el final de la historia. Sin embargo, esta solución exacta requiere que invierta una matriz. Si la matriz es muy grande (como lo es en las aplicaciones de “big data”), entonces esta inversión puede ser computacionalmente costosa. Es (más o menos) O (n ^ 3) si su matriz es nxn. (He descubierto que la mayoría de los textos de álgebra lineal de pregrado nunca hablan de esto). En estos casos, en realidad a menudo es más rápido, y por lo tanto mejor, usar el descenso de gradiente para encontrar una buena aproximación a la solución. En la mayoría de las aplicaciones, no necesitará una solución exacta de todos modos.

(Por cierto, aprendí todo esto a través de la clase Coursera de Andrew Ng sobre Machine Learning).

Sería bueno cubrir esto porque el aspecto de la complejidad del tiempo podría atraer a las personas de CS, y el aspecto de regresión de mínimos cuadrados podría atraer a las personas de las ciencias sociales y las matemáticas aplicadas. (Además, explica por qué una vez tuve, inexplicablemente para mí en ese momento, dos estudiantes de posgrado en ciencias políticas en una de mis clases de cálculo multivariable). (Además, da un buen contraejemplo a la falsa idea que algunas personas tienen que “el tiempo polinómico es igual a rápido”.)

Dado que el álgebra lineal y el cálculo multivariable ya tienen tantas aplicaciones en la física (de hecho, la mayoría del cálculo multivariable se inventó debido a la física), me parece innecesario tratar de atraer más a la multitud de física :). Ciertamente no trataría de meter nada en la mecánica cuántica.

El algoritmo de pagerank se basa en gran medida en el álgebra lineal. También es bastante fácil explicar si los estudiantes han aprendido acerca de los vectores propios.

Otro buen ejemplo es hablar sobre matrices de transformación que se usan en gráficos de computadora (juegos de computadora en particular) para rotar / escalar o colocar un objeto 3D.

El análisis de componentes principales de algunos conjuntos de datos geniales puede parecer magia real en muchos campos.

Ejecutar un pca sobre opiniones o votos políticos y mostrar cómo los diferentes partidos políticos pueden visualizarse como agrupaciones en un campo gracias a una proyección que maximiza la variación debería impresionar a los estudiantes de ciencias políticas. Los mayores de biología deberían amar cómo se puede hacer lo mismo con las mediciones de flores (el “conjunto de datos Iris” estándar que encontrará en línea).

Recomendaciones de amigos de Facebook, todos lo usaron.