La fila 3 del Triángulo de Pascal es 1 3 3 1, entonces
[matemáticas] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) [/ matemáticas]
Siempre puedes multiplicar esto de la forma habitual, pero te ahorrarás algo de trabajo si conoces las primeras filas del triángulo de Pascal.
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En nuestro caso, [matemática] b = i. [/ Matemática] Recuerde [matemática] i ^ 2 = -1 [/ matemática] y [matemática] i ^ 3 = i ^ 2 i = -i. [/ Matemática]
[matemáticas] (a + i) ^ 3 = a ^ 3 + 3ia ^ 2 – 3a – i = (a ^ 3 – 3a) + i (3a ^ 2 -1) [/ matemáticas]
Si [math] a [/ math] es real, podemos equiparar partes:
[matemáticas] 18 = a ^ 3 – 3a [/ matemáticas]
[matemáticas] 26 = 3a ^ 2 – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 27 = 3a ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 9 = a ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] a = \ pm 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 ^ 3 – 3 (3) = 27-9 = 18 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]
[matemáticas] (- 3) ^ 3 – 3 (-3) = -27 + 9 = -18 \ quad [/ matemáticas] NO 18, entonces [matemáticas] a = -3 [/ matemáticas] no funciona.
Encontramos una raíz, probablemente la que busca el problema, [math] a = 3 [/ math]
Si no nos importa que [math] a [/ math] sea complejo, aún podemos resolverlo. La manera fácil es arrojar cualquier raíz cúbica de unidad, llámela [math] w, [/ math] a la ecuación que ya resolvimos. Ya sabemos
[matemáticas] (3 + i) ^ 3 = 18 + 26i [/ matemáticas]
Como [matemáticas] w ^ 3 = 1, [/ matemáticas] debe ser cierto que
[matemáticas] w ^ 3 (3 + i) ^ 3 = 18 + 26i [/ matemáticas]
[matemáticas] (w (3 + i)) ^ 3 = 18 + 26i [/ matemáticas]
Entonces las raíces cúbicas de [matemáticas] 18 + 26i [/ matemáticas] son [matemáticas] w (3 + i) [/ matemáticas]. ¿Qué es [matemáticas] w [/ matemáticas]? Obviamente [math] w = 1 [/ math] es uno de ellos; Hay dos más. Hay algunas formas de obtenerlos. Si eres como yo, has hecho problemas como este unas pocas millones de veces para que puedas escribirlos.
Si te gustan las coordenadas polares, sabes [matemática] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemática] para el entero [matemática] k, [/ matemática] así que las raíces [matemáticas] N [/ matemática] son solo
[matemáticas] w_N = e ^ {2 \ pi ki / N} = \ cos (2 \ pi k / N) + i \ sin (2 \ pi k / N). [/ matemáticas]
Para [matemática] N = 3 [/ matemática] cualesquiera tres [matemática] k [/ matemática] s dan las tres raíces, digamos [matemática] k = -1, 0 [/ matemática] y [matemática] 1. [/ matemáticas]
[matemáticas] w = e ^ {i (-2 \ pi / 3)} = \ cos (2 \ pi / 3) – i \ sin (2 \ pi / 3) = – \ dfrac 1 2 – i \ dfrac { \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] w = \ cos (0) + i \ sin (0) = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] w = \ cos (2 \ pi / 3) + i \ sin (2 \ pi / 3) = \ dfrac 1 2 + i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]
Quizás la forma más directa es resolver [matemáticas] w ^ 3 = 1. [/ Matemáticas]
[matemáticas] w ^ 3 – 1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (w – 1) (w ^ 2 + w + 1) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] w = 1 [/ matemática] o [matemática] w = \ dfrac {-1 \ pm \ sqrt {1 -4}} {2} [/ matemática] que es la misma que las anteriores.
Entonces, las soluciones a [matemáticas] z ^ 3 = 18 + 26i [/ matemáticas] son
[matemáticas] z_1 = 3 + i [/ matemáticas]
[matemáticas] z_2 = \ frac 1 2 (1 + i \ sqrt {3}) (3 + i) = \ frac 1 2 (3 – \ sqrt {3} + i (1 + 3 \ sqrt {3})) [/matemáticas]
[matemáticas] z_3 = \ frac 1 2 (1 – i \ sqrt {3}) (3 + i) = \ frac 1 2 (3 + \ sqrt {3} + i (1 – 3 \ sqrt {3})) [/matemáticas]
Se nos pide [matemática] a [/ matemática], no [matemática] z, [/ matemática] entonces [matemática] a + i = z [/ matemática] da [matemática] a = zi, [/ matemática] así tenemos que restar [math] i [/ math] de cada uno de estos. Recolectando estos todos juntos da tres [math] a [/ math] s válidos:
[matemáticas] a = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] a = \ frac 1 2 ((3- \ sqrt {3}) + i (-1 + 3 \ sqrt {3})) \ quad [/ matemáticas] o
[matemáticas] a = \ frac 1 2 ((3 + \ sqrt {3}) + i (-1 -3 \ sqrt {3})) [/ matemáticas]
Tengo demasiado sueño para comprobar esto.
