Solo haz que Wolfram | Alpha lo haga por ti :-).
Pero si estuvieras en una isla desierta sin acceso a Wolfram Alpha, así es como puedes pensarlo.
Parece que ya te sientes cómodo con el teorema del binomio. Aquí está de nuevo, pero declaró de una manera particular que creo que nos gustará.
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[matemática] \ izquierda (x + 1 \ derecha) ^ r = 1 + rx + \ frac {r (r-1)} {2!} x ^ 2 [/ matemática] [matemática] + \ frac {r (r- 1) (r-2)} {3!} X ^ 3 + \ cdots [/ math]
Míralo y asegúrate de entenderlo, y verifica que realmente sea equivalente a la formulación del teorema binomial que conoces.
Ahora, para el gran truco . Resulta que la afirmación anterior es verdadera no solo para [math] r = 1,2,3, \ ldots [/ math] sino para todos los [math] r [/ math] reales. El único inconveniente es que esto a menudo resulta en una serie infinita . (Y como alguien ya señaló correctamente, estos resultados de la serie también se pueden obtener mediante la expansión de Taylor).
En particular, funciona para [math] r = 1/2 [/ math]:
[matemáticas] \ left (x + 1 \ right) ^ {1/2} = 1 + \ frac {1} {2} x + \ frac {1/2 (1 / 2-1)} {2!} x ^ 2+ \ cdots [/ math]
[matemática] \ izquierda (x + 1 \ derecha) ^ {1/2} = 1 + \ frac {1} {2} x- \ frac {1} {8} x ^ 2 [/ matemática] [matemática] + \ frac {1} {16} x ^ 3 + \ cdots [/ math]
Ahora, reescribiendo su expresión original [math] \ left (a + b \ right) ^ {1/2} [/ math] como [math] \ sqrt {b} \ left (a / b + 1 \ right) ^ { 1/2} [/ matemáticas] da
[matemáticas] \ sqrt {b} \ left (1+ \ frac {1} {2} \ left (\ frac {a} {b} \ right) – \ frac {1} {8} \ left (\ frac { a} {b} \ right) ^ 2 + \ frac {1} {16} \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ 3 + \ cdots \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ sqrt {b} + \ frac {a} {2 \ sqrt {b}} – \ frac {a ^ 2} {8b ^ {3/2}} + \ frac {a ^ 3} {16b ^ {5/2}} + \ cdots [/ math]
que es el mismo resultado que Wolfram Alpha escupirá.
¡Espero que ayude!
