* A2A *
Gram Zeppi ya ha respondido esta pregunta muy bien. Aquí hay un método alternativo usando el martillo de la serie taylor:
[matemáticas] \ displaystyle e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} [/ math]
- Un padre, una madre y 6 hijos están parados en un anillo. ¿De cuántas maneras se pueden organizar si el padre y la madre no pueden pararse uno al lado del otro?
- ¿De cuántas maneras se puede organizar un mazo estándar de 52 cartas para que todas las cartas se apilen en la caja del mazo?
- Phil tiene la mitad de dinero que Jack, pero después de que Jack le había dado $ 35 a Phil, solo tenía 1/3 de Phil. ¿Cuánto tenía cada uno originalmente?
- Cómo encontrar todos los puntos del grupo de [matemáticas] \ {\ frac {1} {n} + \ frac {1} {m} | n, m \ in \ mathbb {N} \} [/ math]
- ¿Hay usos para las gavillas en matemáticas además de la construcción de la noción de un esquema?
Diferenciando wrt x obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {nx ^ {n-1}} {n!} \; \; \; \ cdots \; \; \; (1) [/ matemáticas]
Multiplicar por x a lo largo de que obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle xe ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {nx ^ {n}} {n!} [/ math]
Diferenciando nuevamente wrt x obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle xe ^ x + e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {n ^ 2 x ^ {n-1}} {n!} \; \; \; \ cdots \; \; \; (2) [/ matemáticas]
Por lo tanto, sustituyendo x = 1 en (1) y (2) obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle e = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {n} {n!} \; \; \; 2e = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {n ^ 2} {n!} [/ Math]
Ahora,
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {(k + 2) (2k + 3)} {17k!} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {2k ^ 2 + 7k + 6} {17k!} [/ Matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {17} \ left (2 \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {k ^ 2} {k!} + 7 \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {k} {k!} + 6 \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {k!} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {17} \ left (2 (2e) + 7 (e) + 6 (e) \ right) = e [/ math]
