La importancia de [math] e [/ math] se da cuenta cuando miramos las derivadas de las funciones log.
Por ejemplo: supongamos que queremos diferenciar una función [math] f (x) = \ log_a {x} [/ math] (donde [math] a [/ math] es cualquier real positivo [math] \ neq 1 [/ math ]) ¡pero todavía no sabemos qué es [math] e [/ math]!
En consecuencia, tampoco sabemos que:
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[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ log_a {x} = \ dfrac {1} {x \ log_e {a}} [/ matemáticas]
Entonces usamos la definición de límite de la derivada de una función para resolver nuestro problema:
[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} {f (x)} = \ lim \ limits_ {h \ to 0} {\ left (\ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} \ right)} [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ \ dfrac {d} {dx} \ log_a {x} = \ lim \ limits_ {h \ to 0} {\ left (\ dfrac {\ log_a {(x + h)} – \ log_a { x}} {h} \ right)} [/ math]
[math] = \ lim \ limits_ {h \ to 0} {\ left (\ log_a {\ left (1+ \ dfrac hx \ right) ^ {\ frac 1h}} \ right)} [/ math]
Ponga [math] u = \ dfrac hx [/ math] y por lo tanto [math] u \ a 0 [/ math] como [math] h \ a 0: [/ math]
[matemáticas] = \ lim \ límites_ {u \ a 0} {\ left (\ log_a {\ left (1 + u \ right) ^ {\ frac {1} {ux}}} \ right)} [/ math]
[math] = \ dfrac 1x \ lim \ limits_ {u \ to 0} {\ left (\ log_a {\ left (1 + u \ right) ^ {\ frac 1u}} \ right)} [/ math]
[math] = \ dfrac 1x \ log_a {\ left (\ lim \ limits_ {u \ to 0} {\ left (1 + u \ right) ^ {\ frac 1u}} \ right)} [/ math]
Ahora la expresión [math] \ lim \ limits_ {u \ to 0} {\ left (1 + u \ right) ^ {\ frac 1u}} [/ math] se acerca a un valor [math] 2.71828… [/ math] ( que se puede obtener simplemente tomando valores de [math] u [/ math] cada vez más cerca de [math] 0 [/ math]), lo cual es irracional y, por lo tanto, no podemos equipararlo a una fracción entera. Entonces le damos un nombre: [math] e [/ math], y así:
[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ log_a {x} = \ dfrac 1x \ log_a {e} = \ dfrac {1} {x \ log_e {a}} [/ math]
¡Y aquí es donde esta extraña [matemática] e [/ matemática] aparece por primera vez en el cálculo!
Ahora observe que cualquiera que sea la base [math] a [/ math] de la función log, [math] \ log_e {a} [/ math] siempre aparece en su derivada. Entonces, en cierto modo, es una propiedad natural de todos los logaritmos.
Y es por eso que [math] \ log_e {x} [/ math] se conoce como logarithmus naturalis [math] x [/ math] (latín para el logaritmo natural de [math] x [/ math]) que se acaba de acortar a [matemáticas] ln (x). [/ matemáticas]
