Todos trataron esta pregunta como “raíz cuadrada de números complejos”. Tomemos el interrogador en su palabra y consideremos las raíces cuadradas de números puramente imaginarios. Estas son las soluciones para
[matemáticas] z ^ 2 = ai [/ matemáticas]
donde [math] z [/ math] es un número complejo y [math] a \ ne 0 [/ math] es un número real.
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Una raíz cuadrada de un número complejo tiene la mitad del ángulo del original. Siempre hay dos raíces cuadradas que son negaciones entre sí, por lo que solo necesitamos encontrar una y poner una [matemática] \ pm [/ matemática] al final.
La respuesta depende del signo de [matemáticas] a [/ matemáticas]. (Eso no es tan sorprendente si considera la diferencia entre la raíz cuadrada de un número positivo y uno negativo). Tomemos el caso [math] a> 0 [/ math].
[matemáticas] (ai) ^ {\ frac 1 2} = a ^ {\ frac 1 2} (e ^ {i \ pi / 2}) ^ {\ frac 1 2} = \ sqrt {a} e ^ {i \ pi / 4} = \ sqrt {a} (\ cos \ frac {\ pi} {4} + i \ sin \ frac {\ pi} {4}) = \ sqrt {a} (\ sqrt {2} / 2+ i \ sqrt {2} / {2}) = \ pm (1 + i) \ sqrt {a / 2} [/ math]
Cheque:
[matemáticas] [(1 + i) \ sqrt {a / 2}] ^ 2 = (a / 2) (1 + i) ^ 2 = (a / 2) (1 + 2i + i ^ 2) = (a / 2) (2i) = ai \ \ \ \ marca de verificación [/ math]
Ahora tome [math] a 0 [/ math].
[matemáticas] (ai) ^ {\ frac 1 2} = (-ai \ cdot -1) ^ {\ frac 1 2} = (-ai \ cdot i ^ 2) ^ {\ frac 1 2} = (-ai ) ^ {\ frac 1 2} (i ^ 2) ^ {\ frac 1 2} = i (1 + i) \ sqrt {-a / 2} = (-1 + i) \ sqrt {-a / 2} = \ pm (1-i) \ sqrt {-a / 2} [/ math]
Cheque:
[matemáticas] [(1-i) \ sqrt {-a / 2}] ^ 2 = (1 – 2i + i ^ 2) (- a / 2) = ai \ \ \ marca de verificación [/ math]
Si realmente quiere el caso general, aquí hay un enlace:
La respuesta de Dean Rubine a ¿Cómo puedo convertir esta [matemática] (a + bi) ^ {c + di} [/ matemática] en forma de número complejo estándar [matemática] a + bi [/ matemática]?