¿Qué es el infinito?

Esa es una pregunta bastante difícil de responder. En las matemáticas ordinarias que las personas aprenden en la escuela secundaria, el infinito no es un número. En realidad, hay dos significados de infinito en ese tipo de matemáticas:

1. El número de elementos, potencialmente, en una secuencia, serie o conjunto. Por ejemplo, se puede decir que las series 1 + 1 + 1 + … tienen un número infinito de elementos (que en este caso son términos). También se puede decir que el conjunto de números naturales tiene un número infinito de elementos (en este caso, elementos). Eso se llama la cardinalidad del conjunto. Es solo la idea de contar elementos, y puedes imaginar que hay un número infinito de ellos.
2. Un número, supuestamente, más grande que cualquier número en el conjunto de números con los que está trabajando (generalmente, entero o real). Sin embargo, este número no existe realmente como parte del conjunto de números. Estos son números ordinales, es decir, tienen un operador de sucesión, como para enteros (uno más grande que), o una relación de orden. Se puede decir que el valor de la serie 1 + 1 + 1 + … tiene un límite de infinito, pero esto realmente significa que a medida que se calcula, se hace más y más grande sin detenerse. Esto también se puede usar en una expresión ya que una determinada variable cambia asintóticamente a un cierto valor.

Ahora, ha habido intentos de hacer sistemas matemáticos donde el infinito es un número real. Uno de ellos está implícito en el sistema de punto flotante IEEE en casi todas las computadoras. Tiene valores para INF, -INF y NAN. Esto es útil para detectar, por ejemplo, la división por cero, pero está lleno de dificultades. ¿Qué es 1/0? No esta definido. ¿Cuál es, entonces, el límite de 1 / x cuando x va a 0? Uno diría infinito. Sin embargo, si x es negativo, entonces va al infinito negativo. Si rebota de un lado a otro entre un número positivo y negativo, entonces no se puede saber.

Hay varios trucos para tratar matemáticamente valores infinitos, especialmente series infinitas. Estos pueden tener un límite de infinito o infinito negativo o, a veces, converger en un valor. Los trucos no siempre funcionan. Considere la serie de Grandi, que es 1 – 1 + 1 – 1 + … Esto obviamente no converge, pero si usa la suma de Cesàro, suma a 1/2.

Cuando llegas a conceptos como el infinito, hay una gran diferencia entre cardinal y ordinal. Georg Cantor trabajó con la cardinalidad de los conjuntos. Considere el conjunto de números naturales. Tiene una cardinalidad infinita, pero ¿qué tan grande es? Llamó a la cardinalidad aleph-0. (En realidad, se metió en problemas con las autoridades alemanas por usar el alfabeto hebreo. A ellos les pareció demasiado judío). Para comparar la cardinalidad de los conjuntos, si puede hacer un mapeo uno a uno, puede demostrar que la cardinalidad del Dos juegos son lo mismo. Entonces el conjunto {perro, gato, ratón} tiene la misma cardinalidad que el conjunto {1, 2, 3}. Podría, por ejemplo, asignarlos por orden alfabético, como en cat <-> 1, dog <-> 2, mouse <-> 3. Debe seguirse que esto también debería funcionar para conjuntos infinitos.

Resulta que puedes asignar los números naturales a todos los enteros y a los números racionales, pero cuando intentas esto con los números reales, siempre quedan números reales. Entonces, la cardinalidad del conjunto de números reales es, en cierto sentido, mayor que la cardinalidad del conjunto de números naturales. Esto se llama C (para continuo). ¡Es un tipo de infinito más grande que aleph-null!

También puede obtener un conjunto más grande, en términos de cardinalidad, al hacer el conjunto de potencia de los conjuntos. Es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto. Para el conjunto {perro, gato, ratón}, esto sería {{}, {perro}, {gato}, {ratón}, {perro, gato}, {perro, ratón}, {gato, ratón}, {perro , gato, ratón}}. Es posible que se sienta inclinado a omitir el conjunto vacío {}, pero facilita los cálculos. Notarás que la cardinalidad de un conjunto de potencia es dos al poder de la cardinalidad del conjunto.

Sin embargo, con conjuntos infinitos, la cardinalidad del conjunto de potencia es un tipo de infinito “más grande”. Para el conjunto de potencia de los números naturales, que tienen una cardinalidad de aleph-0 ,, Cantor llamó la cardinalidad aleph-1. El poder de eso sería aleph-2, y así sucesivamente. Estos se llaman números transfinitos.

Puede asignar el conjunto de potencia de los números naturales, aleph-1, a los números reales. ¿Pero eso significa que C es lo mismo que aleph-1? Aquí se pone complicado. Mucha gente piensa que puede demostrar que sí, pero las pruebas siempre sobrepasan los reales. Resulta que solo puede probar esto (llamado la forma débil de la hipótesis del Continuo) si agrega un axioma adicional a su sistema matemático llamado el Axioma de elección. Sin embargo, esto es muy extraño, ya que este axioma no es necesario para generar los números transfinitos en primer lugar. Incluso entonces, no puede probar la forma fuerte, que es que no hay un conjunto transfinito con una cardinalidad entre aleph-0 y aleph-1.

Sin embargo, animo a la gente a intentarlo. Es muy divertido. Una de las preguntas más brillantes que he visto en Quora fue por alguien que simplemente había visto una demostración de que el conjunto de números reales era incontable con los enteros. A esta persona se le ocurrió una forma de contar los reales. Estaba mal, por supuesto, y la mayoría de las respuestas lo señalaron. ¡Sin embargo, sí contenía el germen de una prueba de que el conjunto de poder de los números naturales podía contar (y contar en exceso) los reales!

Ese es el verdadero genio en el sentido más real. Escribí una respuesta de felicitación, pero por desgracia, no puedo encontrar la respuesta ahora.

En espiritualidad, infinito es que te estás percibiendo a ti mismo. Es como un espejo perfecto mirándose a sí mismo sin imperfecciones. Este espejo perfecto es indistinguible de quién eres en tu esencia. Su conciencia no tiene forma y está impecable y es un ojo perfecto para ver.

El infinito es también el espacio y el universo en su conjunto, sin fin porque es un reflejo del ser Supremo.

¿Quién o qué es el Ser Supremo?

Bueno, mira hacia adentro y mira. Retírate a ti mismo y mira. Baila dentro de tu alma y mira. Se trata de verte a ti mismo como eres, y llegarás a conocer ese primer principio del cual emanan todas las cosas.

El universo es un gran lugar, y puedes parecer pequeño en comparación. Especialmente si solo te consideras un cuerpo físico y una mente.

Entonces eres realmente bastante pequeño en comparación.

Pero, ¿qué pasa si cambias tu atención?

Si de repente te ves a ti mismo como conciencia en lugar de solo un cuerpo físico.

Entonces te vuelves sin forma e inmaculado. Aunque no es realmente un devenir. Porque siempre has sido eso.

Esta es la verdadera espiritualidad, y esto es lo que la cosmología debería hacernos reflexionar dentro de nuestras propias almas.

Mire hacia afuera, pero comprenda que todas las miradas necesitan una base.

Este fundamento es la existencia-felicidad-consciencia.

“La belleza es la sonrisa de la verdad cuando contempla su propio rostro en un espejo perfecto”.
Rabindranath Tagore

El infinito no es un número realmente, es más un colectivo, describe todos los números cardinales o contando. Un número cardinal es cualquier número, por ejemplo 20. Digamos que hay 20 personas en una habitación, 20 es la cardinalidad del grupo, si una canasta tiene 20 manzanas, también tiene una cardinalidad de 20. Básicamente, la cardinalidad describe El número de cosas en un grupo.

Pero ahora considere ‘infinito’, un grupo de TODOS los números que existen, obviamente no hay límite real, no podemos etiquetar su Cardinalidad con un número real, por lo que se le da un nuevo símbolo: ℵ 0 (pronunciado: ‘Aleph Naught’ o ‘Aleph Null’), que se considera el ‘infinito’ más pequeño. En lo que respecta a una definición de infinito, esto es, ℵ 0, todos los números naturales.

Si agrega 1 al grupo, no cambia nada. Si comenzaste a contar desde el principio de nuevo, todavía encontrarás una lista interminable de números dentro del grupo, por lo tanto, aún tienes la etiqueta ℵ 0.

Espero que esto sea útil, el infinito es solo un concepto que hemos creado para comparar cantidades interminables, por lo que es importante no considerarlo como un número.

El infinito es muchas cosas en matemáticas, y lo que es (y, por lo tanto, cómo se usa y define con precisión) depende del contexto, lo que generalmente lo deja muy claro.

Zero también viene en muchas formas, ¡pero en general no es tan mal entendido por el público!

En ciertos contextos, infinito significa un límite de crecimiento ilimitado de magnitud o distancia. Este es el infinito en los límites. En términos generales, puede decir que “el límite como una variable tiende al infinito” significa “el límite a medida que la variable establecida se hace arbitrariamente grande”. Del mismo modo, si el valor del límite en sí mismo es infinito, esto es muy parecido a “cuando la variable se acerca a su punto límite, el valor de la función cuyo límite estamos tomando crece sin límite”. En este contexto, existen límites de funciones desde los números reales hasta los números reales, tanto el infinito positivo como el negativo.

Hay una extensión de los números reales llamados, de todas las cosas, los números reales extendidos, donde se agregan dos elementos adicionales: [math] + \ infty [/ math] y [math] – \ infty [/ math]. Es decir, si [math] \ mathbb {R} [/ math] es el conjunto de números reales, los números reales extendidos son [math] \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, \ infty \} [/ matemáticas]. Luego definimos algunas reglas adicionales sobre cómo la suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, etc., deben funcionar con estos nuevos “números”.

Otro adorno de los números reales es la línea proyectiva, que es topológicamente un círculo, con un solo “punto al infinito”. Una vez más, sin embargo, se deben definir reglas sobre cómo hacer aritmética con este infinito particular (que no es ni positivo ni negativo). Ir más allá de la línea proyectiva es el plano proyectivo, que tiene una “línea en el infinito”, ¡y no es topológicamente equivalente a una esfera! Los espacios proyectivos son realmente interesantes, pero solo recuerdo un poco sobre el plano proyectivo.

Hablando de planos, los números complejos forman el “plano complejo”. Si pones una línea alrededor de él en el infinito y luego lo dibujas como la boca con cordón de una bolsa para que solo haya un punto en el infinito, tienes la esfera de Riemann, que es topológicamente (¡lo has adivinado!) Una esfera. Este es un buen espacio.

Todos estos infinitos tienen una cosa en común: todos representan algo acerca de una distancia desde un punto de referencia, y esa distancia más allá de cualquier número real.

Luego hay otros tipos de infinitos: cardinalidades infinitas y números ordinales infinitos. Los números cardinales representan una abstracción del tamaño, y los números ordinales representan una abstracción del orden. Esto está entrando en un territorio más abstracto, pero este es el lugar donde puedes escuchar a la gente hablar de diferentes “tamaños” de infinito. En este lugar (a diferencia de antes), “diferentes tamaños de infinito” adquiere un significado bien definido, y la primera instancia de que la gente generalmente aprende es el hecho de que mientras los números naturales son (¡naturalmente!) Contables , como son los enteros, e incluso los números racionales, los números reales no son contables: son incontables . Este es también el lugar donde aprendemos que un conjunto puede definirse como infinito si tiene un subconjunto adecuado con la misma cardinalidad que él mismo. Por ejemplo, el conjunto de enteros positivos menores o iguales a diez tiene exactamente diez elementos, y el conjunto de enteros positivos menores o iguales a diez tiene cinco, como era de esperar; sin embargo, el conjunto de enteros pares tiene el mismo “tamaño” que el conjunto de todos los enteros (y lo que esto significa se define con cuidado y precisión en el momento adecuado).

Cero, por otro lado, generalmente es solo cero y se comporta de la misma manera en todas partes. Pero cómo se define cero en ciertos conjuntos puede ser diferente. Cuando construimos los números naturales, definimos el conjunto vacío como nuestro cero, y luego definimos los otros números y las cosas que puede hacer con ellos en términos de lo que podemos hacer con los conjuntos, para que todo se comporte como queremos y esperamos. Pero luego, cuando construimos los enteros, generalmente los definimos como clases de equivalencia de números naturales, es decir, hay muchas formas de escribir el entero cero en términos de números naturales como conjuntos subyacentes. Esta clase de equivalencia nos permite ocultar toda la maquinaria complicada detrás de un bonito símbolo redondo 0 que hace todo lo mismo que siempre. Este proceso continúa básicamente para la mayoría de los conjuntos de cosas que llamamos números. Cero tiene ciertas propiedades, y son en gran medida fijas.

En cuanto a la ecuación específica y la inferencia extraída de ella en los detalles de la pregunta, debo decir que es un pensamiento inteligente, pero no es un razonamiento matemático realmente válido. Es cierto que [math] 2 \ times0 = 3 \ times0 = 0 [/ math], pero no hay forma de “dividir” el cero para obtener [math] 2 = 3 [/ math]. Esto se debe a que la división por cero no está definida específicamente para evitar probar absurdos. Si hemos hecho todo el trabajo duro para definir los números en términos de conjuntos, y hemos llegado a definir la multiplicación en términos de esta maquinaria, sabemos que [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ matemáticas] son representado por conjuntos con diferentes elementos, y la igualdad entre conjuntos se define así: dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. Entonces, cualquier deducción que resulte en algo como [matemática] 2 = 3 [/ matemática] tiene algo de malo. Si no es así, significa que hay algo mal con el conjunto inicial de reglas que usó para construir los números en primer lugar, ¡lo cual sería una gran noticia!

Infinity se usa en matemáticas, sin embargo, es más que un simple concepto matemático. El infinito era una precondición para la primera magnitud que existió, por lo tanto, existió cuando no existió ninguno. El infinito es el único atributo de la nada.

El infinito, visto desde la perspectiva védica, puede relacionarse con sada-shiv, ya que está ocurriendo para siempre (sada). Además, Shiva es considerado el destructor del mundo material de manera similar, el infinito hace que la mayor magnitud parezca nada en comparación con él. Lo que está lleno de todo debe estar infinitamente lleno de nada. Lo que incluye todo también debe incluir nada.

El infinito es lo único universal. Curiosamente, es solo la mente humana la que puede ver el infinito y comprender lo indescifrable que es. El infinito es el pináculo del pensamiento humano.

El cero existe perfectamente porque no existe, el infinito deja de existir perfectamente debido a la naturaleza de su propia existencia.

La existencia causa no existencia y la no existencia crea existencia.

Hay varias definiciones de infinito (y hay varias definiciones de 2, por lo que no es sorprendente que haya diferentes formas de definir el infinito). El tipo de infinito más fácil de entender es el infinito de la teoría de conjuntos.

Dos conjuntos se definen como del mismo tamaño si puede hacer un mapeo uno a uno de cada miembro del primero en un miembro del segundo, de modo que

a) cada miembro del segundo está mapeado

b) ningún miembro del segundo está mapeado dos veces

(Puede ver que todos los conjuntos con cinco miembros tendrán el mismo tamaño , pero ningún conjunto con 6 miembros tendrá el mismo tamaño que un conjunto con 5 miembros. También puede definir 2 como el conjunto de todos los conjuntos que tienen el mismo tamaño como {0,1} . Deje eso por ahora, ya que la pregunta no era ‘¿qué es 2?’)

y un conjunto se define como infinito si tiene el mismo tamaño que un subconjunto de sí mismo.

Para mostrar el conjunto de números de conteo 1, 2, 3, 4, 5 … es infinito, puede usar el mapeo ‘double-it’ para mapear los números contables solo en los números pares

1–> 2

2–> 4

3–> 6

etc.

Es una definición ordenada de “el mismo tamaño”, ya que no se basa en contar ninguno de los conjuntos. (La cantidad de actos sexuales heterosexuales cometidos por mujeres en Nebraska en 2017 es la misma que la de los hombres. No se requiere contar).

Y si crees que todo esto es obvio: bueno, puedes usarlo para demostrar, con rigor (o rigor) completo, que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño. Sí, que algunos conjuntos infinitos son más grandes que otros.

(También hay definiciones de infinito en el cálculo y en la geometría. La geometría también es agradable. Es el ‘lugar donde se encuentran las líneas paralelas’, pero no voy a explicar por qué / cómo eso tiene sentido en este momento).

De hecho, es una buena pregunta para hacer.

En general, el infinito es la calidad o estado de infinitud o que no tiene límites en términos de tiempo, espacio u otra cantidad. En matemáticas, el infinito es la expresión conceptual de tal número “sin número”. A menudo se simboliza con el lemniscate (también conocido como lemniscate de Bernoulli ), que se parece al número 8 escrito de lado. Este símbolo para el infinito fue utilizado por primera vez en el siglo XVII por el matemático John Wallis.
En matemáticas, el infinito tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, la constante matemática conocida como pi es un decimal infinito. Pero el infinito es más que un número realmente grande.

El concepto de infinito también es popular entre los cosmólogos que estudian el tamaño del universo. ¿El espacio simplemente sigue y sigue para siempre sin fin? Esa es una pregunta que sigue sin respuesta. Lo que los científicos saben, sin embargo, lleva a muchos de ellos a creer que el universo puede ser infinito.

Además de la física y las matemáticas, el concepto de infinito también puede tener aplicaciones filosóficas. Por ejemplo, el teorema del mono infinito establece que un mono que presiona las teclas al azar en una máquina de escribir durante una cantidad de tiempo infinita eventualmente escribirá un texto dado, como Moby Dick o las obras completas de Shakespeare.

Algunas personas usan el teorema del mono infinito para sugerir que, si se les da una cantidad de tiempo infinita, todo es posible. Los expertos en estadística y probabilidad, sin embargo, han demostrado que el teorema es en realidad una mejor prueba de lo improbable que son tales eventos. Por ejemplo, la probabilidad real de que un mono escriba exactamente un trabajo completo, como el Hamlet de Shakespeare, es tan pequeña que, incluso dado un período de tiempo tan largo como la edad del universo, ¡la probabilidad es casi cero!

¿Es infinito un número ?

Para entenderlo, comprendamos el significado detrás del término “número” y a qué se refiere.

• un número racional
• un numero positivo
• un número complejo
• un entero positivo
• un número ordinal
• un número real
• un entero
• un número cardinal
• un número constructivo (digamos, para los antiguos griegos) un
• un número surrealista …

Ahora veamos a qué se refiere el “infinito”.

• un conjunto infinitamente contable
• un conjunto infinitamente incontable
• el punto al infinito en geometría proyectiva
• uno de los dos nuevos puntos en la compactación de dos puntos de los números reales
• El nuevo punto en la compactación de un punto de los números complejos, también conocida como la esfera de Riemann
• un número cardinal infinito
• un número ordinal infinito …

Como vemos, las referencias no coinciden y más o menos sirve como prueba de que el infinito no es un número.

Cabe señalar que el infinito se puede definir como el límite de 1 / x cuando x se acerca a cero. A veces las personas dicen que 1/0 es igual a infinito, pero técnicamente, la división por cero no está definida. Otra noción es que infinito es una cantidad x tal que x + 1 = x . La idea es que la cantidad es tan grande (ya sea positiva o negativa) que aumentar su valor en 1 no la cambia.

Algunos de estos significados son compatibles, como lo demuestra la lista anterior. Pero, de nuevo, hay palabras más precisas que “número” e “infinito” en matemáticas, y si quieres llegar a alguna parte, debes aprender cuáles son esas palabras.

Un poco de investigación al responder esta pregunta me llevó a un océano de información sobre el tema y realmente lo disfruté y actualicé mis conocimientos. Una ilustración llena de diversión que estoy compartiendo al final de esta respuesta para lectores serios de estas columnas.

Infinito, el concepto de algo que es ilimitado, sin fin, sin límites. El símbolo común del infinito, ∞, fue inventado por el matemático inglés John Wallis en 1657. Se pueden distinguir tres tipos principales de infinito: el matemático, el físico y el metafísico. Los infinitos matemáticos ocurren, por ejemplo, como el número de puntos en una línea continua o como el tamaño de la secuencia interminable de números de conteo: 1, 2, 3, … Los conceptos espaciales y temporales de infinito ocurren en física cuando uno pregunta si hay infinitas estrellas o si el universo durará para siempre. En una discusión metafísica de Dios o lo Absoluto, hay preguntas sobre si una entidad última debe ser infinita y si las cosas menores también pueden ser infinitas.

Hay muchas respuestas válidas dadas a esta pregunta, aquí está la forma india temprana de definir números:

El texto matemático indio Surya Prajnapti (4to. Siglo III a. C.) clasifica todos los números en tres conjuntos: enumerables, innumerables e infinitos. Cada uno de estos se subdividió en tres órdenes:

Enumerable: más bajo, intermedio y más alto

Innumerable: casi innumerable, verdaderamente innumerable e innumerablemente innumerable.

Infinito: casi infinito, realmente infinito, infinitamente infinito

En este trabajo, se distinguen dos tipos básicos de números infinitos. Tanto por razones físicas como ontológicas, se hizo una distinción entre asaṃkhyāta (“innumerables, innumerables”) y ananta (“infinitas, ilimitadas”), entre infinitos rígidamente delimitados.

Fuente: Wikipedia.

Una pieza final de interés relacionada con INFINITY:

Infinito un concepto, no un número

Fecha: 16/03/2003 a las 01:08:54

De: Kaiser

Asunto: 1 / infinito

¡Hola a todos!

1 / infinito = 0

En palabras, si 1 barra de chocolate se divide entre un número infinito de personas, ¡nadie obtiene nada! ¿A dónde fue la barra de chocolate?

¿No implica que 1 / infinito = infinitesimalmente pequeño?

…………….

Fecha: 16/03/2003 a las 02:06:09

De: doctor Wallace

Asunto: Re: 1 / infinito

Hola kaiser

Creo que tiene la idea básica, pero también puede haber sido víctima de un error común que me gustaría aclarar.

¿De dónde sacaste la idea de que 1 / infinito = 0?

La misma oración “1 / infinito = 0” no tiene significado. ¿Por qué? Porque “infinito” es un concepto, NO un número. Es un concepto que significa “ilimitación”. Como tal, no se puede usar con ningún operador matemático. Los símbolos de +, -, x y / son operadores aritméticos, y solo podemos usarlos para números.

Escribir 1 / infinito y decir “1 dividido por infinito” no tiene ningún sentido. 1 no puede dividirse por un concepto. Solo se puede dividir por un número. Del mismo modo, “infinito + 1” o “2 veces infinito” tampoco tienen sentido.

Como otro ejemplo, ¿qué significa esto: “1 / justicia = 5”?

¡Eso es correcto! Es tan insignificante como “1 / infinito = 0” porque la justicia es un concepto, no un número.

En matemáticas, cuando escuchas a la gente decir cosas como “1 sobre el infinito es cero”, a lo que generalmente se refieren es a algo llamado límite. Sin embargo, solo están utilizando una especie de taquigrafía. NO significan que 1 realmente puede dividirse por infinito. En cambio, significan que, si divide 1 por números sucesivamente más altos, el resultado se vuelve cada vez más cercano a 0. Si divido 1 por un número muy grande, como mil millones, entonces obtengo una milmillonésima, que es MUY pequeña número, pero no es 0. Como no hay un número mayor, siempre puedo dividir 1 por un número mayor. Pero eso solo producirá un número aún menor, ¿verdad? NUNCA producirá 0, no importa cuán alto llegue. Pero como la respuesta a la división se acerca cada vez más a 0, decimos que “el límite de la expresión es cero”. Pero todavía no hemos dividido nada por infinito, ya que ese no es un número.

Para volver a su barra de chocolate, ¿qué pasa si la divide entre todas las personas que viven en la tierra? Cada persona obtendría aproximadamente 1 seis billonésima parte de una barra de chocolate. Esa es una cantidad muy, muy pequeña, y probablemente necesitarías un microscopio para ver tu pieza, pero no sería cero, ¿verdad? Ah, pero preguntaste sobre dividirlo entre un número infinito de personas. Pues no podemos. ¿Por qué? Como el infinito no es un número, no puedes mostrarme un número infinito de personas. Si lo intentas, solo agregaré una persona más, y luego nos daremos cuenta de que el número que creías que era “infinito” en realidad no lo era.

Entonces, para terminar, tienes toda la razón al decir que “1 / infinito = infinitesimalmente pequeño”. Pero solo si se da cuenta de que REALMENTE quiere decir “1 dividido entre un número REALMENTE grande es un número REALMENTE pequeño”.

Gracias por escribir al Dr. Math. No dude en volver a escribir si necesita más ayuda con esta u otra pregunta.

– Doctor Wallace, El Foro de Matemáticas

http://mathforum.org/dr.math/

Fecha: 17/03/2003 a las 03:32:34

De: Kaiser

Asunto: Gracias (1 / infinito)

Muchas gracias, Dr. Wallace. Sabía que un número no puede dividirse por un concepto, pero no recordaba que 1 / infinito es un límite que tiende a 0.

Infinito (símbolo: ∞) es un concepto abstracto que describe algo sin límite y es relevante en varios campos, predominantemente matemática y física. En matemáticas, “infinito” a menudo se trata como si fuera un número (es decir, cuenta o mide cosas: “un número infinito de términos”) pero no es el mismo tipo de número que los números naturales o reales.
Georg Cantor formalizó muchas ideas relacionadas con el infinito y los conjuntos infinitos a fines del siglo XIX y principios del XX. En la teoría que desarrolló, hay infinitos conjuntos de diferentes tamaños (llamados cardinalidades). [1] Por ejemplo, el conjunto de enteros es infinitamente contable, mientras que el conjunto infinito de números reales es incontable. [2]

En realidad, hay muchos sistemas numéricos diferentes, y la respuesta depende del sistema numérico en el que esté trabajando. Elegimos utilizar diferentes sistemas numéricos para diferentes propósitos.

Por ejemplo, los enteros no negativos (números enteros, 0, 1, 2, 3, …) no incluyen “infinito”, porque no obedecería los supuestos que queremos que tengan los números enteros (es decir, para cada x, x +1> x. Pero [math] \ infty + 1 [/ math] podría no estar bien definido).

Además, queremos que cero sea el número tal que x + 0 = x para cada x. Si hubiera dos ceros, 0 ‘y 0’ ‘, entonces 0’ + 0 ” = 0 ‘y o’ + o ” = 0 ”, entonces 0 ‘= 0’ ‘, entonces solo hay un cero. Esta es una prueba por contradicción. Esta es la definición habitual de cero y se aplica en todos los grupos (un grupo es como una generalización de una simplificación de los números que estamos acostumbrados a usar).

En informática, a veces hay infinitos positivos y negativos, que básicamente significan “un número más grande de lo que podemos representar en (32 o 64) bits” y “un número más pequeño de lo que podemos representar en (32 o 64) bits”. También puede haber ceros positivos y negativos, que actúan como cero normal, pero recuerde cierta información sobre cómo se calcularon.

En algún momento, el infinito se define como un concepto, como en los límites. Cuando tomas un límite de f (x) cuando x “va al infinito”, lo que realmente estás diciendo es, “a medida que x crece, f (x) tiene un cierto comportamiento” que podría ser, por ejemplo, acercarse y más cerca de algún número, o para hacerse más y más grande. También decimos “a medida que x aumenta sin límites” en lugar de “a medida que x va al infinito” para evitar pensar en el infinito como un número.

También podemos definir “infinito” en términos de relaciones entre conjuntos. Estos infinitos se llaman los “números aleph”. Por ejemplo, si decimos “El conjunto A tiene cardinalidad aleph-null”, significa que podemos encontrar una coincidencia 1 a 1 (o biyección) entre los números enteros y el conjunto A. Por ejemplo, los enteros tienen cardinalidad aleph- nulo. Podemos probar esto usando la biyección 0: 0, 1: 1, 2: -1, 3: 2, 4: -2, … En este caso no hay infinito negativo, porque realmente no puede haber una “biyección negativa “. Aleph-null no es realmente un número en el sentido normal, por lo que no puede simplemente colocar un signo negativo frente a él. Hay muchas matemáticas muy interesantes que involucran las cardinalidades de los conjuntos. Recomendaría el documental “Conocimiento peligroso” para una historia de este tipo de pensamiento.

Algunas veces en cálculo usamos los “reales extendidos”. Este es el conjunto de números reales (números con expansiones decimales como, 0, 2.5, 3.333 …, 3.14159 …, etc.), más un infinito positivo y uno negativo. Tenemos que definir las reglas de los números reales en torno a estos elementos adicionales, por lo que no obtenemos todas las propiedades que nos gustaría para los números reales. Usamos los reales extendidos cuando tener los infinitos es más importante que las propiedades de los números reales que no se aplican a los infinitos. También podemos definir más elementos, como [math] \ infty ^ 2,1 / \ infty [/ math], etc., siempre que tengamos cuidado de verificar qué propiedades queremos aplicar.

Otro conjunto son los números proyectivos. Imagina que dibujas un círculo unitario (radio = 1) con su tangente inferior a (tocando) 0, y representa cada número x por el punto donde una línea dibujada desde la parte superior del círculo hacia x en la línea numérica corta el círculo. Por ejemplo, una línea dibujada desde la parte superior a -2 corta el círculo en su punto más a la izquierda, 90 grados desde la parte inferior, por lo que podemos representar -2 por “-90 grados”. No hay un número no infinito en el que la línea “corte” el círculo solo en el punto superior, por lo que definimos “180 grados” como infinito. Como es solo un punto en el círculo, solo hay un infinito.

¡Finalmente, puede crear su propio sistema de números que incluye un infinito con las propiedades que desee! De eso se trata mucho la matemática: crear nuevas estructuras y luego ver qué propiedades tienen. Solo tiene que asegurarse de que no haya contradicciones en sus definiciones.

Hay varios conceptos diferentes de infinito. Tres que pueden ser de interés son los límites , los cardenales y los ordinales .

Límites

Puede ver el símbolo [math] \ infty [/ math] en expresiones matemáticas que posiblemente involucren sumas o integrales. Por ejemplo:

[matemáticas] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} {(1+ \ frac1n) ^ n} = e [/ matemáticas]

[matemáticas] \ suma \ límites_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac1 {n!} = e [/ matemáticas]

En estos casos, “infinito” se interpreta como que significa que más allá de algún valor de [math] n [/ math] el valor de la expresión está arbitrariamente cerca del límite establecido.

Cardenales

Los números cardinales se utilizan para medir el “tamaño” de los conjuntos. Se dice que dos conjuntos son de la misma cardinalidad si hay una correspondencia uno a uno, o biyección , entre sus elementos. Para conjuntos finitos, se pueden usar los números naturales habituales para la biyección creando un “recuento” de los elementos.

El cardinal transfinito más pequeño es el del conjunto completo de números naturales, [math] \ aleph_0 [/ math], pronunciado “aleph null”. Se dice que cualquier conjunto con esta cardinalidad es infinitamente contable ya que se puede poner en correspondencia uno a uno con los números naturales que forman una lista infinita. Resulta que el conjunto de números racionales, [math] \ mathbb {Q} [/ math], es infinitamente contable, pero el conjunto de números reales, [math] \ mathbb {R} [/ math], es estrictamente más grande y es incontablemente infinito .

Dado cualquier conjunto, podemos mostrar que el conjunto de potencia (el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto dado) tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la del conjunto dado. Como resultado, hay al menos innumerables cardenales transfinitos. De hecho, resulta que hay muchos cardenales inestables: ¡no se pueden recoger todos en un conjunto!

Ordinales

Los números ordinales se usan para conjuntos que tienen un orden, por lo que hay un primer, segundo, tercer elemento, etc. en el conjunto. Los números naturales tienen un orden natural, por lo que los ordinales finitos corresponden a los cardinales finitos, y el primer ordinal transfinito, [math] \ omega [/ math], corresponde a [math] \ aleph_0 [/ math]. Sin embargo, el siguiente ordinal es [math] \ omega + 1 [/ math] porque el conjunto ordenado de números naturales seguido de otro elemento es distinto de [math] \ omega [/ math]. Tenga en cuenta que los números naturales precedidos por otro elemento no son distintos de [math] \ omega [/ math], por lo que la conmutatividad se pierde para los ordinales. Es decir:

[matemáticas] 1+ \ omega = \ omega \ neq \ omega + 1 [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ omega + 2, \ omega + 3, \ dotsc, \ omega + \ omega = 2 \ omega, 2 \ omega + 1, \ dotsc [/ math]

y así. De hecho, hay innumerables ordinales incontables infinitos antes de llegar al primer ordinal incontable, [math] \ omega_1 [/ math]. ¡Y luego seguimos yendo, yendo y yendo, hasta (alguna versión de) infinito y más allá!

Conclusión

Como puede ver, hay más en el concepto de infinito de lo que podría haber pensado. De hecho, el concepto intuitivo de infinito está plagado de pensamientos confusos, inconsistencias y contradicciones. Los ejemplos anteriores son solo algunos de los conceptos matemáticamente rigurosos del infinito que, desafortunadamente, dejan a la mayoría de las personas confusas, inconsistentes y confundidas cuando las encuentran por primera vez 🙁

Creo que fue Aristóteles quien lo expresó de esta manera: muchas personas piensan que el infinito es el punto más allá del cual no hay nada más. Esto es incorrecto. El infinito es la propiedad de que, en cualquier momento, siempre hay algo más más allá. Lo que esto significa es que no puedes pensar en el infinito como el número más grande en una recta numérica, porque siempre hay un número más grande. De hecho, ni siquiera es un número.

Los límites, como describe Alan Bustany, utilizan el concepto de infinito potencial : que se puede hacer una declaración definitiva sobre una función a medida que su argumento sigue yendo más y más en esta región “más allá”. El argumento no puede llegar a un punto final, pero podemos concluir que la afirmación definitiva sería verdadera si potencialmente pudiera.

También hay un infinito completo . Aunque no podemos construir una lista que incluya todos los enteros positivos, podemos describir algunas relaciones que tratan el conjunto como un todo. Es decir, no podemos realizar una acción que complete la lista, pero podemos tratarla como una lista completa .

Eso suena como un concepto extraño, pero es bastante necesario. Y tiene algunas consecuencias extrañas: ¿cuál es más grande, el conjunto de enteros positivos N o el conjunto de enteros positivos E ? Dado que E es un subconjunto de N , usando cualquier otro miembro, parece que las igualaciones deben ser más pequeñas; la mitad del tamaño, de hecho. Pero al escribir la relación 2 * n = e , donde n está en N y e está en E , vemos que cada elemento de cualquier conjunto está emparejado con exactamente un elemento del otro. Por lo tanto, si se considera que los conjuntos completos N y E tienen una cardinalidad (un concepto de “tamaño” que no es un número para conjuntos infinitos), ¡deben ser los mismos!

De hecho, incluso podemos invertir el resultado extraño: la relación e1 = 4 * n usa cada miembro de N , ¡pero pierde la mitad de E !

Infinito es un número que es demasiado grande para ser expresado

Siempre mucho mayor que el mayor número que se pueda imaginar

Así es como viene

1 ÷ 100 = 0,01

1 ÷ 10 = 0.1

1 ÷ 1 = 1

1 ÷ 0.1 = 10

1 ÷ 0.01 = 100

1 ÷ 0.001 = 1000

………

similar

1 ÷ 0 = infinito

Es decir ,

A medida que va disminuyendo el denominador, el valor de la fracción aumenta

Y cuando alcanza el mínimo final (es decir, cero), el valor de la fracción alcanza la altura máxima (es decir, infinito)

Todos tenemos una idea de lo que es el infinito. Es algo que caracteriza cosas que nunca terminan. Un universo interminable, o una lista interminable, como la lista de números naturales 1, 2, 3, 4, … . No importa cuánto tiempo cuentes, nunca puedes llegar al final de todos los números, y no puedes llegar al final de un universo sin fin, incluso si viajas en la nave espacial más rápida. Este tipo de infinito es lo que el antiguo matemático griego Aristóteles llamó un infinito potencial : definitivamente está ahí, pero nunca lo encontrarás cara a cara. Simplemente no puede llegar al final de esas interminables listas o extensiones.

Aristóteles también pensó en otro tipo de infinito, llamado infinito real . Esto sería algo que podría medir, digamos la temperatura de un objeto, en un lugar y tiempo en particular. Nadie ha visto nunca un infinito tan real, y de hecho Aristóteles pensó que los infinitos reales no existen en el mundo físico. Hasta el día de hoy, los físicos no saben si tenía razón o no.

No sé qué es el infinito, no lo he visto, ¡Pero de todos modos, puedo decir sobre el infinito y también puedo hacerlo hasta el infinito! Espero que al menos a uno le guste hablar como lo estoy haciendo ahora. Es un poema, puedes leerlo como quieras, espero que alguien se divierta por primera vez con el llamado concepto terrible e infinito de Infinity

Infinito, Infinito, Infinito … !!!

Hay infinito, en finito, infinito

Uno dos tres al infinito

Menos uno y dos e infinito

De menos Infinito a más Infinito

Hay numeros infinito

Ahora, infinito es infinito

E infinito es mayor que infinito

También Infinity es menos que Infinity

Infinity agrega Infinity da Infinity

Infinito menos Infinito da Infinito

Producto de infinitos es Infinito

Dividir Infinito es igual a Infinito

El infinito divide El infinito da Infinito

El infinito divide todo lo que da el infinito

Infinito divide cero da Infinito

Un número divide cero da Infinito

Incluso el cero divide el cero da Infinito

Sin embargo, cero puede multiplicar Infinito

Creando todos los números hasta el infinito

Cuadrado, cubo, cualquier poder del Infinito

Raíz y raíces del infinito

Todo viene igual al infinito

Incluso los dígitos del infinito

Números hasta el infinito

Las matemáticas son infinito

Un estudio del infinito.

Los números están ahí, infinito

Comenzando desde algún lugar en Infinity

Terminando en otro lugar en Infinity

De hecho, todo es infinito

Uno, dos, tres, todos son infinitos

Unos pueden formar Infinito

Entonces, dos, tres, todos son Infinito

Prime o perfecto, todo Infinito

Ramanujan es infinito

“El que conocía el Infinito”

Yo también soy infinito

Conociendo al que conocía el Infinito

También eres infinito

Ver al que conoce al que conoce el Infinito

Wow, tú y yo somos infinitos

Finito, frágil pero infinito

Sentirse fallando al infinito

Luchando hacia el infinito

Él y ella, todo infinito

Nosotros y ellos, todo Infinito

Entonces, el amor y la vida son infinitos

De hecho, estas palabras también son Infinito

Puedo hablar con infinito

Pero no tengo derecho a hablar infinito

Sobre otro, porque él es Infinito

Nadie puede culpar al Infinito

Porque nadie puede ver el infinito

Como todos son siempre infinitos

Juzgar a otros es pecar Infinito

El mundo entero es infinito.

Todo es infinito

¿Podemos conocer el infinito?

¡No nunca! Con el infinito

Pero la humildad es conocer el infinito

Queridos amigos, todo es infinito

Siempre y en todas partes Infinito

Entonces, por favor no descanses Infinito,

Odio, ni pelea, ni llora, ni aflige al Infinito

¡Porque podemos amar y ganar Infinity!

Infinito es un término según yo. No se puede llamar un número porque un número es lo que puedes contar. Y si llama al infinito un número que significa que eres capaz de contarlo, que es una declaración FALSA. Entonces, infinito es solo un concepto, solo una idea o un término para expresar una figura grande o pequeña.
Pero si está preguntando en términos de matemáticas, puede llamarlo como 1/0.
Saludos n disfrutar

En pocas palabras, infinito significa interminable. El infinito no es un número, sino un concepto, una idea. Los números son finitos, y no importa en qué número se te ocurra, siempre puedes sumar 1. Intenta no pensar en el infinito como grande o grande o descomunal (como lo haríamos con un número), sino como infinito o ilimitado. En una vena similar, el infinito no “ continúa para siempre ” como si estuviera creciendo, solo está allí , ya formado. Cuando decimos que el universo es infinito, no necesariamente estamos diciendo que es grande, sino que es infinito, por lo que el universo también podría ser infinito en el Big Bang.

Algunos conjuntos de infinito son en realidad más grandes que otros; por ejemplo, el conjunto infinito de decimales es mayor que el conjunto infinito de números enteros (piense en dos números enteros, como 0 y 1, y hay una cantidad infinita de números decimales entre ellos).

De acuerdo, lo que debes mantener en primer plano cuando te sumerjas en el mundo profundo del infinito es que infinito es básicamente una palabra para una cantidad ilimitada. Es un concepto. A la gente le gusta poder hacer sumas con el infinito, lo cual no tiene sentido de todos modos porque entonces llamarías al infinito una cantidad matemáticamente definible, que claramente no lo es. Veo que la gente hace preguntas como: ¿qué es infinito más infinito? Esta es una pregunta tonta en sí misma porque como el infinito es una cantidad ilimitada, ilimitada + ilimitada = ilimitada. No puedes hacer sumas con el infinito. No es un numero.

El infinito es, muy simplemente, el concepto de que algo puede ser ilimitado, ilimitado e indefinible.

Bueno, el infinito es solo un número, podría ser lo que quieras. Por ejemplo, el infinito para mí podría ser de 100 mil millones, pero para alguien más podría ser de 1000 mil millones. Es solo un concepto que el número más alto o más grande que conoces no es el número más grande en absoluto. Tome cualquiera de los 2 números, están infinitamente separados, así que por este concepto podemos ver que no hay 2 números cercanos. Así que imagina entre 0 e infinito, ¿cuántos números hay?

Lo mismo se aplica para el espacio, no sabes la longitud y amplitud del universo, por lo que decimos que el universo es infinitamente grande.