¿Qué es “cohomología” en términos simples?

Para entender la cohomología, debes comprender qué es integrar una función. Tan pronto como comienzas a integrarte, notas que la primitiva de la función se define hasta una constante. Este es el cohomológico. Constante.

¿Por qué cohomológico?

Porque detrás de este hecho aparentemente genuino e inofensivo: necesitas una constante, hay un mundo, un mundo extremadamente rico que te llevará a una de las herramientas más poderosas de la topología algebraica.

Para comprenderlo y comenzar a sentir el poder, observe que si el conjunto en el que integra tiene una estructura topológica y no está conectado, puede elegir más de una constante para especificar su primitiva

Luego se da cuenta de que la estructura algebraica del conjunto de constantes posibles está vinculada a la estructura topológica del conjunto inicial de la función que está viendo (piense en una botella de Klein por ejemplo)

Luego comienzas a construir un punto dual, una vista que se llama teoría homológica

Luego, unifica este nuevo punto de vista con el anterior para obtener un resultado hermoso: un teorema de Stockes … luego mira hacia atrás desde donde viene y concluye que no esperaba tanta riqueza detrás del estudio cuidadoso del conjunto de constantes de integración Esto es lo que llamamos la cohomología del espacio en el que desea definir una primitiva.

Increíble no?

Perdóname por haber saltado algunos detalles técnicos.

Desde la perspectiva más abstracta que he visto, la cohomología es simplemente el proceso de mapear cosas en una cosa de coeficiente fijo. Esta idea proviene de la teoría de la categoría (creo que Urs Schreiber fue el primero en popularizar realmente esta vista): si tiene una categoría (∞, 1), entonces la colección de transformaciones de cualquier objeto a cualquier otro forma un tipo de homotopía (aproximadamente , un espacio que “solo” codifica el comportamiento de las esferas que se encuentran dentro de él). La cohomología de X con coeficientes en A es (el conjunto de componentes conectados de) el espacio de mapeo [X, A], que consiste en mapas en A. Este objeto puede verse como un indicador de cómo los datos locales de X coinciden con los globales Los datos de A. Cohomology le dicen cómo se comportan los diferentes objetos cuando sondea un objeto fijo con ellos. Compare esto con la homotopía, donde arregla el dominio en lugar del codominio. Para leer más sobre esta perspectiva, consulte la página de nLab titulada “Cohomology”.