Has leído mal la cita; “Representable” no se aplica a una categoría, se aplica a una determinada familia de functores que puede construir a partir de una determinada clase de categorías generalizadas.
Aquí hay una versión más simple de la distinción que está haciendo el autor. Una categoría monoidal es una categoría [matemática] M [/ matemática] equipada con un functor [matemático] \ otimes: M \ veces M \ a M [/ matemática] y algunas otras cosas, lo que le permite “multiplicar” dos objetos juntos. Un ejemplo típico es [math] M = \ text {Vect} [/ math], la categoría de espacios vectoriales, donde podemos tomar [math] \ otimes [/ math] para ser el producto tensorial de los espacios vectoriales.
La estructura de categoría monoidal en [math] \ text {Vect} [/ math] es una forma de hablar, no solo de mapas lineales, sino de mapas multilineales: estos corresponden a morfismos [math] V_1 \ otimes V_2 \ otimes \ dots \ otimes V_n \ to W [/ math] de un producto tensorial. Sin embargo, si cree que los mapas multilineales son un concepto más fundamental que los productos tensoriales, puede intentar axiomatizarlos directamente, y obtendrá una categoría múltiple , que es una categoría donde los morfismos pueden tener una fuente que consiste en una lista de objetos en lugar de Solo un objeto.
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Las multicategorías son las versiones “no necesariamente representables” (y de nuevo, esto se refiere a una familia de functores, no a una categoría directamente) de versiones monoidales en el siguiente sentido. Cada categoría monoidal ofrece una categoría múltiple al eliminar los homs de los productos tensoriales como se indicó anteriormente. Por el contrario, si [math] V_1, \ dots V_n, W [/ math] son objetos en una categoría múltiple, entonces hay un functor “multihom” que le da a todos los homs con fuente la lista [math] V_1, \ dots V_n [/ math] y objetivo [math] W [/ math], y la multicategoría proviene de una categoría monoidal de la manera anterior si el functor multihom, como functor de [math] W [/ math], siempre es representable por homs de un solo objeto (es decir, el producto tensorial de [math] V_i [/ math]).
Un ejemplo importante de una multicategoría que no surge de una categoría monoidal de esta manera es el siguiente. Asociado a una variedad [matemática] M [/ matemática], hay una multicategoría cuyos objetos son subconjuntos abiertos de [matemática] M [/ matemática] y cuyos multihoms están dados por “inclusiones disjuntas”: hay un morfismo único de [matemática] ] U_1, \ dots U_n [/ math] a [math] V [/ math] si y solo si [math] U_1, \ dots U_n [/ math] son disjuntos y su unión está contenida en [math] V [/ math ], y no hay morfismos de lo contrario. Esta multicategoría se puede utilizar para desarrollar la teoría de álgebras de factorización y la homología de factorización.
