¿Cuál es una explicación simple de conjunto, elemento y subconjunto y por qué son tan importantes en matemáticas?

Un conjunto es un grupo de “cosas”. Esto podría ser números, polinomios, puntos en un plano (o en un espacio 3D), funciones … Los matemáticos mantienen esto intencionalmente vago. Estas cosas podrían ser casi cualquier cosa.

Un elemento es una de las “cosas” en el grupo.

Un subconjunto es un grupo de “cosas” dentro del grupo. (Un subconjunto adecuado es un grupo más pequeño de “cosas” dentro del grupo.

Aquí hay dos ejemplos. Daré un ejemplo matemático y otro no matemático.

Un conjunto podría ser todos los números naturales (contando números: 0, 1, 2, 3 …). [matemáticas] \ mathbb {N} [/ matemáticas]

Un elemento de ese conjunto podría ser 1 o 20 o 3453. (Estos son todos los elementos porque están contenidos en el conjunto). Esta notación es: [matemática] 20 \ in \ mathbb {N} [/ matemática]

Un subconjunto podría ser {2,9,123} (el conjunto que contiene solo esos 3 números, todos los cuales son elementos de [math] \ mathbb {N} [/ math]) o un subconjunto podría ser todos números pares, porque todos los números pares Son números naturales. La notación es: {2,9,123} [math] \ subset \ mathbb {N} [/ math]

Aquí hay un ejemplo no matemático. Supongamos que su conjunto es animales.

Los humanos son un elemento de los animales.

Los mamíferos son un subconjunto de animales.

¿Por qué son tan importantes en matemáticas? Las matemáticas tienen muchas definiciones. Un cuadrado tiene esta propiedad, un rectángulo tiene esta propiedad, pero es importante saber que los cuadrados son subconjuntos de rectángulos, por lo que no tenemos que reprobar cosas que ya sabemos sobre rectángulos, pero no asignamos cosas que sabemos sobre cuadrados. automáticamente a rectángulos. Podría tomar “cuadrado” y “rectángulo” y reemplazarlos con otras construcciones matemáticas y comenzar a ver algo de la importancia de poder clasificar las cosas de esta manera.

Parte de la belleza de la teoría de conjuntos es cómo se define de forma tan vaga que puede usarse de muchas maneras diferentes para muchas cosas diferentes.

Se vuelve realmente importante en combinatoria y probabilidad cuando tratas de pensar cómo se relacionan dos eventos entre sí. El conjunto A es todos los resultados donde se produjo el evento A, y el conjunto B es todos los resultados donde se produjo el evento B. [matemática] A \ cap B [/ matemática] es todos los eventos en los que ambos ocurrieron. Comenzamos a ver mucho más significado sobre lo que significa ser un elemento de conjuntos múltiples.

No soy un matemático duro, así que recomendaría las respuestas en ¿Por qué es importante la teoría de conjuntos?

La teoría de conjuntos es la base para que podamos hacer cualquier tipo de conteo, aritmética de enteros y más adelante en combinatoria y optimizaciones.