Como se dijo, la pregunta tiene poco sentido, pero estoy dispuesto a adivinar que se supone que es algo como lo siguiente: Suponga que [matemáticas] A \ subseteq X [/ matemáticas] y [matemáticas] B \ subseteq Y [/ matemáticas]. Entonces, el producto cartesiano [matemáticas] A \ veces B [/ matemáticas] es un subconjunto del producto cartesiano [matemáticas] X \ veces Y [/ matemáticas], y es razonable preguntarse si el complemento de [matemáticas] A \ veces B [/ math] en [math] X \ times Y [/ math] de alguna manera puede describirse en términos de los conjuntos originales y sus complementos.
Entonces, ¿cuándo está [math] (x, y) \ en X \ times Y [/ math] no en [math] A \ times B [/ math]? Bueno, está en [matemática] A \ veces B [/ matemática] si tanto [matemática] x \ en A [/ matemática] como [matemática] y \ en B [/ matemática], que falla si cualquiera de [matemática] x \ not \ en A [/ math] o [math] y \ not \ in B [/ math] o ambos. Si denotamos el complemento de [matemáticas] A \ veces B [/ matemáticas] en [matemáticas] X \ veces Y [/ matemáticas] por [matemáticas] (A \ veces B) ^ c [/ matemáticas], el complemento de [ matemática] A [/ matemática] en [matemática] X [/ matemática] por [matemática] A ^ c [/ matemática], y el complemento de [matemática] B [/ matemática] en [matemática] Y [/ matemática] por [matemáticas] B ^ c [/ matemáticas], podemos traducir la observación que acabamos de hacer en
[matemáticas] (A \ veces B) ^ c = (A ^ c \ veces Y) \ cup (X \ veces B ^ c) [/ matemáticas].
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Este lado derecho es la unión de dos conjuntos: aquellos en los que el primer elemento no puede estar en [matemáticas] A [/ matemáticas], y aquellos en los que el segundo elemento no puede estar en [matemáticas] B [/ matemáticas]. Es importante darse cuenta de que todas esas anotaciones [matemáticas] c [/ matemáticas] se refieren a diferentes conjuntos de ambientes.
Un aspecto ligeramente insatisfactorio de esta ecuación es que la unión no es disjunta: estamos “contando dos veces” aquellos pares en los que ambos elementos no se encuentran en los subconjuntos correspondientes. Esto se puede remediar fácilmente:
[matemáticas] (A \ veces B) ^ c = (A ^ c \ veces B) \ cup (A \ veces B ^ c) \ cup (A ^ c \ veces B ^ c) [/ matemáticas]
donde ahora distinguimos explícitamente los tres casos posibles: pares en los que el primer elemento está afuera pero el segundo está adentro, pares en los que el primero está adentro y el segundo afuera, y finalmente pares en los que ambos elementos se encuentran fuera del respectivo subconjuntos.
Cuál de estas representaciones es adecuada depende de las circunstancias.
