Si tengo que elegir entre [matemática] 20 [/ matemática] tipos de flores, [matemática] 10 [/ matemática] las flores no necesariamente son de diferentes tipos, ¿por qué la cantidad total de posibilidades no es [matemática] 20 ^ {10} [/matemáticas]?

Gracias por A2A. Ya hay buenas respuestas.

Primero echemos un vistazo a su argumento: tiene [matemáticas] 20 [/ matemáticas] formas de elegir un tipo de la primera flor, [matemáticas] 20 [/ matemáticas] maneras de elegir un tipo de la segunda, etc. y, eventualmente, tienes [matemáticas] 20 [/ matemáticas] formas de elegir un tipo de la última.

Sin embargo, a nadie le importa en qué orden has elegido las flores. De hecho, si, por ejemplo, cambia el orden de elección de la primera y segunda flores, el resultado de la elección sigue siendo el mismo.

Por lo tanto, formalmente, debe contar una cantidad de combinaciones, y dado que los tipos de flores no son necesariamente diferentes, debe contar una cantidad de combinaciones con repeticiones.

Si olvidó la fórmula, hay una manera fácil de verla.

Deje [math] x_1, x_2, \ ldots, x_ {20} \ in \ mathbf {N} _0 [/ math] varias flores elegidas de cada uno de los tipos [math] 20 [/ math].

Entonces tienes [matemáticas] x_1 + x_2 + \ ldots + x_ {20} = 10. [/ Matemáticas]

Un hecho combinatorio mencionado con mucha frecuencia (también en Quora) es que varias soluciones de esta ecuación son iguales a [matemáticas] \ binom {10 + 20-1} {20-1} = \ binom {10 + 20-1} {10 } = \ binom {29} {10}. [/ matemáticas]

Puede verlo fácilmente si piensa en una cadena que consta de [matemática] 10 [/ matemática] caracteres dicen [matemática] 1 [/ matemática], y tiene que insertar otros [matemática] 19 [/ matemática] caracteres (delimitadores) entre ellos. Entonces [math] x_1 [/ math] corresponde a un número [math] 1 [/ math] entre el inicio de la cadena y el primer delimitador, [math] x_2 [/ math] – entre el primer y el segundo delimitador, y así sucesivamente.

Tiene dos casos para esto, uno con reemplazo y otro sin reemplazo.

Sin reemplazo:
Al principio tienes 20 formas de elegir una flor. La próxima vez, si no reemplaza la flor, tendrá 19 formas de elegir la próxima flor. De esta misma manera, la cantidad de formas en que puede elegir disminuye la flor.
Esta es la razón por la cual la cantidad de formas en que puede seleccionar 10 flores de 20 flores es [matemática] {C} _ {10} ^ {20} [/ matemática].

Con reemplazo:
Si reemplaza la flor después de elegirla por la misma flor u otra flor, la cantidad de formas en que puede elegir una flor en cualquier momento sigue siendo 20.
Entonces, el número total de arreglos se convierte en [matemáticas] {20} ^ {10} [/ matemáticas].