Dado que está dispuesto a redefinir por completo la suma y la multiplicación, el conjunto base es [math] \ mathbb {R} [/ math] es un arenque rojo total; todo lo que realmente nos preocupará es que nuestro conjunto base tenga la misma cardinalidad que el numeros reales.
Entonces, queremos un campo incontable tal que [matemática] 1 + 1 = 11 = 1 + 1 + 9 [/ matemática] (supongo que por [matemática] 1 [/ matemática] te refieres a la identidad multiplicativa y por [ math] 11 [/ math] te refieres a [math] 1 [/ math] agregado a sí mismo 11 veces; de lo contrario, este problema se resuelve trivialmente cambiando el nombre de 11 a 2 y de 2 a 11). Recuerde que en un campo, siempre podemos restar de ambos lados y retener la igualdad, por lo tanto, vemos que [matemáticas] 9 = 3 ^ 2 = 0 [/ matemáticas]. Nuevamente, dado que este es un campo, debemos tener que [math] 3 = 0. [/ Math]
Hay un campo muy simple para el cual [math] 3 = 0 [/ math], es decir, el campo de 3 elementos [math] \ mathbb {F} _3 = \ {0,1,2 \} [/ math]. Las tablas de suma y multiplicación para este campo son:
- Cada usuario en un sistema informático tiene una contraseña que tiene entre seis y ocho caracteres, donde cada carácter es una letra mayúscula o un dígito. Cada contraseña debe contener al menos un dígito. ¿Cuántas posibles contraseñas hay?
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- ¿Cuál es el valor de la serie [matemáticas] \ frac {n} {1} + \ frac {n} {2} + \ frac {n} {3} + \ ldots + \ frac {n} {n}? [ /matemáticas]
[matemáticas] \ begin {array} {c | ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \ hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \ end {array} \ \ \ \ begin {array} {c | ccc} \ times & 0 & 1 & 2 \\ \ hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \ end {array} [/ math].
Todo esto está muy bien, pero este campo tiene un claro inconveniente para nuestros propósitos: ¡no tiene una cardinalidad infinita, y mucho menos la cardinalidad del continuo!
Para solucionar esto, vamos a hacer un truco estándar de álgebra conmutativa: vamos a incluir muchas variables. Específicamente, vamos a agregar una variable [math] X_r [/ math] para cada número real [math] r [/ math]. Luego, veremos el conjunto de todas las funciones racionales que se pueden escribir en esas variables con coeficientes en [math] \ mathbb {F} _3 [/ math]. Un elemento típico de este conjunto podría ser
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2 + X _ {\ sqrt {2}} ^ 2 X_e + 2X _ {\ pi} ^ 4} {1 + X _ {\ sqrt {5}} X _ {\ phi} X_ {3 + \ sqrt {7}}} [/ math].
No es demasiado difícil comprobar que este conjunto realmente cumple todos los requisitos de un campo (con la adición y multiplicación de funciones habituales). Además, debido a la forma en que lo construimos, automáticamente tenemos [matemáticas] 0 = 3 [/ matemáticas] en el campo y, por lo tanto, [matemáticas] 1 + 1 = 11 [/ matemáticas].
Lo único que queda por comprobar es si este campo es la cardinalidad correcta. Es fácil ver que tiene que tener cardinalidad al menos el continuo. Es un poco más difícil, pero aún así posible, comprobar que tiene cardinalidad exactamente en el continuo.
